Les quatre opérations dans les registres sémiotiques
Ce que change une addition qu'on peut prendre dans la main — examen des quatre opérations à la lumière de la reconnaissance, du traitement, de la conversion et de la coordination.
Un élève de première secondaire qui pose 62 − 47 et écrit 25 n'a pas « mal calculé » : il a appliqué correctement une règle qu'il a mal formée — « on soustrait le petit du grand, chiffre par chiffre ». L'erreur est régulière, et c'est ce qui la rend intéressante.
La thèse de Raymond Duval éclaire ce genre d'erreur mieux qu'un rappel de la règle : en mathématiques, on n'a jamais accès à l'objet, seulement à ses représentations. Le nombre soixante-deux n'est ni « 62 », ni six dizaines et deux unités posées sur une table, ni un point sur une droite graduée — il est ce dont ces trois écritures parlent. Et rien, dans le fait de manipuler une seule d'entre elles, ne garantit qu'on accède à l'objet.
L'outil Entier naturel repose sur un pari didactique précis : faire tenir, dans le même cadre et au même instant, la quantité qu'on manipule et l'écriture qui la note — et faire en sorte que le geste sur l'une produise l'écriture de l'autre. Cette page examine ce pari, opération par opération, sur des exemples numériques, avec les quatre concepts de Duval comme instruments de mesure.
Quatre concepts, et ce qu'ils permettent de voir
Duval distingue quatre opérations cognitives sur les représentations. Les confondre, c'est confondre quatre difficultés très différentes — et proposer la même remédiation à toutes.
Reconnaissance
Identifier, dans une représentation, l'objet dont elle parle et les unités signifiantes qui la composent. Reconnaître que le 6 de « 62 » ne vaut pas six mais soixante est un acte de reconnaissance — et il n'a rien d'évident : rien, dans le signe « 6 », ne porte sa valeur. C'est sa place qui la porte.
Traitement
Transformer une représentation à l'intérieur de son registre, selon les règles propres à ce registre. Poser une soustraction et dérouler l'algorithme est un traitement dans le registre de l'écriture chiffrée. C'est ce que l'école enseigne le plus, et souvent le seul.
Conversion
Passer d'un registre à un autre en parlant du même objet : de dix jetons groupés à l'écriture « 10 », de « partager 85 entre 4 » à la potence. Duval l'établit sur des données d'enquête : la conversion est massivement plus coûteuse que le traitement, et elle n'est presque jamais enseignée pour elle-même.
Coordination
Reconnaître le même objet dans plusieurs registres et savoir lequel choisir. C'est le critère de la compréhension : non pas réussir dans un registre, mais tenir ensemble ce que chacun montre — et ce qu'aucun ne montre seul.
Le matériel n'est pas « le concret » opposé à « l'abstrait ». C'est un registre de plus, avec ses règles, ses unités signifiantes et son coût d'apprentissage. Une boîte de dix n'enseigne rien par sa seule présence : elle enseigne parce qu'un geste la ferme au dixième objet et qu'un chiffre s'écrit au même moment.
C'est pourquoi cette page ne mesure jamais le matériel pour lui-même, mais toujours les passages qu'il rend possibles.
La retenue cesse d'être un chiffre qui voyage
Dans l'algorithme écrit, la retenue est un petit 1 posé en haut d'une colonne. Sa justification — dix unités valent une dizaine — n'apparaît nulle part dans le registre où on l'écrit. L'élève apprend donc un geste dont la raison vit ailleurs.
L'outil, à la fin de l'addition. À gauche, l'opération posée ; à droite, les mêmes nombres en boîtes et en objets, rangés sous des colonnes qui portent leur nom. Les groupes portés restent visibles, cochés — les sept et les huit sont encore là pendant qu'on regarde les quinze.
Dans l'outil, l'opération se joue dans une grille dont les colonnes portent leur nom — unités, dizaines — et dont les trois lignes sont le premier nombre, le second, et le résultat. Chaque case contient les objets réels de ce rang.
- La colonne des unités montre 7 objets et 8 objets. On les rassemble : il y en a 15.
- On prend un groupe de dix : une boîte se referme sur eux et monte dans la colonne des dizaines. Il reste 5 unités, et ce 5 s'écrit.
- Les dizaines montrent alors 4, 3 et la boîte arrivée : 8 dizaines. Le résultat s'écrit 85.
- Les sept et les huit du départ restent sous les yeux, marqués comme portés. « Sept et huit font quinze » exige que les sept et les huit soient encore là pendant qu'on regarde les quinze.
La colonne nommée « dizaines » fait de la place un objet visible. Le 4 de 47 n'est plus un signe parmi d'autres : il est quatre boîtes, dans une colonne qui porte son nom. L'unité signifiante de l'écriture positionnelle — la position — devient une chose qu'on peut désigner du doigt.
Le traitement écrit n'est pas supprimé, il est retardé jusqu'à ce qu'il ait un sens. L'élève fait bien la même suite d'actions que l'algorithme, mais chaque étape est une action sur des objets avant d'être une ligne de calcul. La règle n'est pas donnée : elle est constatée, puis nommée.
C'est ici que l'outil travaille le plus. Fermer la boîte et écrire le chiffre sont un seul et même geste : la conversion objets → écriture n'est plus une tâche séparée qu'on espère voir se faire toute seule, elle est le mouvement même de l'activité. La retenue n'est plus un signe arbitraire, c'est la trace écrite d'un regroupement.
Trois registres tiennent dans le même cadre : les objets groupés, la grille nommée par rangs, l'écriture chiffrée. La coordination ne se demande pas à l'élève à la fin, comme un exercice de plus : le dispositif la rend permanente, parce que rien ne bouge dans un registre sans bouger dans les autres.
L'emprunt devient une boîte qu'on ouvre
C'est l'opération où l'écriture trahit le plus. « Je barre le 6, j'écris 5, je mets un 1 devant le 2 » : aucune de ces trois actions ne dit ce qui se passe. D'où l'erreur régulière la plus répandue du primaire — soustraire le petit chiffre du grand, dans chaque colonne, et écrire 25 pour 62 − 47.
L'emprunt, en train de se faire. Une boîte de dizaines a été ouverte — marquée en orange — et ses dix objets sont tombés dans la ligne du dessous. Les pièces retirées restent barrées au lieu de disparaître : le geste garde sa trace, donc il peut être relu.
L'outil montre le premier nombre en haut, et laisse une seconde ligne vide sous lui. Vide, elle annonce déjà qu'il va s'y passer quelque chose.
- Il faut retirer 7 unités, et il n'y en a que 2. Le rang qui manque se signale — la question du moment se voit sans qu'on la lise.
- On ouvre une boîte de dizaines : les dix unités qu'elle contenait tombent dans la ligne du dessous. Il y a maintenant 12 unités, et il ne reste que 5 boîtes.
- On retire les 7 : les objets retirés restent barrés, ils ne disparaissent pas. Il reste 5 unités.
- On retire 4 dizaines des 5 restantes : 1 dizaine. Le résultat s'écrit 15.
Ouvrir une boîte rend visible ce que l'écriture cache : la dizaine et l'unité ne sont pas deux nombres différents, c'est la même quantité regroupée autrement. L'élève reconnaît que 62, c'est aussi « 5 dizaines et 12 unités » — une reconnaissance que l'algorithme écrit suppose acquise sans jamais la construire.
Le traitement écrit devient contrôlable : chaque ligne posée a son geste correspondant, et un résultat aberrant se voit avant d'être écrit. Les objets retirés restent barrés plutôt que d'être effacés — le traitement garde sa trace, donc il peut être relu, discuté, corrigé.
La conversion se fait dans les deux sens, et c'est rare : de l'écriture vers les objets quand on cherche ce qui manque, des objets vers l'écriture quand on note ce qui reste. Un rang réglé qui ne laisse rien écrit son zéro — le zéro cesse d'être « rien » pour devenir le résultat écrit d'un partage complet.
L'erreur « 25 » ne peut plus survivre : elle exigerait de retirer sept objets d'un tas qui n'en contient que deux, et le dispositif ne le permet pas. Ce n'est pas une correction, c'est une impossibilité matérielle — la coordination entre registres invalide l'erreur avant qu'un adulte n'ait à la juger.
Les produits partiels retrouvent ce qu'ils comptent
Dans la multiplication posée, le « décalage d'un rang » de la deuxième ligne est la règle la moins justifiée de l'arithmétique scolaire. On l'enseigne comme une convention d'écriture ; c'est en réalité une multiplication par dix.
Le moment qui enseigne. Le 4 est choisi, et le rang des unités a été glissé quatre fois : douze objets sont sur la ligne « 4× ». L'outil dit alors ce qu'il faut faire — « le tas a atteint 10 : glissez-le dans la colonne des dizaines ». La retenue n'est pas une règle, c'est ce geste-là.
L'outil dispose une ligne par produit partiel, dans la même grille nommée par rangs : multiplier, c'est répéter le même paquet, et les paquets se regroupent en boîtes.
23 × 4: quatre fois le paquet « 2 dizaines et 3 unités ». Cela fait 12 unités — une boîte se referme, il reste 2 — et 8 dizaines, plus la boîte : 92.23 × 10: dix fois le même paquet. Chaque groupe de dix objets se referme : les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines. 230. Le décalage se voit — il n'est pas une convention, c'est un changement de rang.- On additionne les deux lignes comme une addition ordinaire : 92 + 230 = 322.
Une contrainte d'usage vient s'ajouter : l'ordre des gestes est libre entre le haut et le bas, mais on commence par la droite. La liberté porte sur le chemin, pas sur le sens de lecture des rangs.
Le produit partiel cesse d'être une ligne de chiffres pour redevenir ce qu'il compte : « quatre fois vingt-trois ». L'élève reconnaît dans 92 le résultat d'une répétition d'objets, et dans le 230 un même paquet dont chaque rang a monté d'un cran.
L'algorithme écrit garde toute sa valeur — il reste le plus économique, et c'est lui qu'il faut savoir. Mais il devient un raccourci DONT ON CONNAÎT LE CHEMIN LONG. C'est ce qui distingue une technique comprise d'une technique subie : la première se répare quand elle déraille.
La conversion la plus difficile de la multiplication est celle du langage vers l'écriture : « quatorze fois vingt-trois » donne 23 × 14, et pourquoi pas 14 × 23 ? Le dispositif tranche en montrant le paquet répété : l'un des deux nombres dit COMBIEN DE FOIS, l'autre dit QUOI, et leur échange se voit — même résultat, mise en scène différente.
Trois lectures d'un même fait doivent finir par se répondre : une addition répétée, un tableau de rangs, une règle écrite. Tant qu'elles restent séparées, l'élève a trois savoirs fragiles ; coordonnées, il en a un seul, solide — et il peut retrouver la règle s'il l'oublie.
La potence cesse d'être une suite de gestes sans raison
La division posée est le sommet de l'opacité scolaire : on « abaisse » un chiffre, on « place » un zéro, on compare des restes — et l'élève exécute une chorégraphie dont presque rien ne se justifie dans le registre où elle s'écrit.
−6 ↓
0 1
−0 ↓
1 8
−1 8
0
La division achevée. À gauche, la potence avec ses flèches d'abaissement — on voit ce qui descend, et d'où. À droite, les trois parts : une personne se tient à côté d'un sac marqué 1/3, et l'on voit ce que chacun reçoit. La division redevient un partage.
Ce nombre a été choisi : il contient le cas que presque tous les élèves ratent — un zéro au quotient. Beaucoup écrivent 26.
- 6 centaines partagées en 3 : chacun en reçoit 2, il ne reste rien. On écrit 2.
- On abaisse la dizaine : le geste est marqué par une flèche. Il y a 1 dizaine pour 3 parts.
- Une dizaine ne se partage pas en trois : chacun en reçoit zéro. Ce zéro s'écrit — c'est un rang qu'on a bel et bien traité, et qui n'a rien laissé.
- La dizaine restante s'ouvre en 10 unités, auxquelles s'ajoutent les 8 du nombre : 18 unités.
- 18 unités en 3 : 6 chacune, reste 0. Résultat : 206.
Et la règle du dispositif : un zéro ne s'écrit jamais tout seul. Il n'apparaît que porté par le geste qui le produit — un rang qu'on a bien partagé et qui ne laisse rien. Un zéro qui s'écrirait avant son geste enseignerait précisément l'erreur qu'on veut éviter.
À côté de la potence, chaque part est figurée par un sac, et une personne se tient à côté : on voit ce que chacun reçoit. La division cesse d'être un calcul pour redevenir un partage.
« Abaisser un chiffre » redevient reconnaissable : ce n'est pas un signe qu'on déplace, c'est un rang qu'on ouvre en dix rangs plus petits. La flèche donne au geste une unité signifiante propre — sans elle, l'action était invisible dans l'écriture, donc impossible à interroger.
La potence reste la potence : on ne remplace pas la technique, on la rend lisible ligne à ligne. Chaque ligne écrite correspond à un partage effectué, et une ligne qui n'a pas eu lieu ne s'écrit pas. Le traitement devient vérifiable par son auteur, ce qui est la condition pour qu'il devienne autonome.
C'est la conversion la plus riche des quatre opérations : du partage d'objets vers la potence, et de la potence vers la question « et chacun reçoit combien ? » — à laquelle les sacs répondent. Le reste, notion la plus fragile de la division, devient ce qui est encore sur la table et qu'on ne peut plus partager également.
Le zéro du quotient est le test de coordination par excellence. Dans l'écriture seule, il paraît optionnel — beaucoup d'élèves l'omettent et obtiennent 26. Dans le partage, l'omettre est impossible : un rang a bel et bien été partagé, et il n'a rien laissé. Deux registres qui ne se contredisent jamais valent mieux qu'une règle de plus à retenir.
Le bénéfice, énoncé sans complaisance
Quatre déplacements se dégagent, et ils ne sont pas de même poids.
1. La conversion devient une activité, au lieu d'un espoir
C'est le bénéfice principal, et il porte exactement là où la recherche situe la difficulté. Dans l'enseignement ordinaire, l'élève travaille dans le registre écrit et l'on espère qu'il fera seul le lien avec le sens. Ici, le geste et l'écriture sont simultanés et solidaires : fermer une boîte écrit un chiffre. Ce que Duval nomme conversion n'est plus laissé à la charge de l'élève — il est la matière même de la tâche.
2. Certaines erreurs deviennent impossibles plutôt que corrigées
Retirer sept objets d'un tas de deux ne se peut pas. Oublier le zéro d'un rang qu'on vient de partager ne se peut pas. La différence avec une correction est considérable : l'élève n'apprend pas qu'un adulte le désapprouve, il rencontre une contrainte du milieu — au sens de Brousseau — et c'est elle qui enseigne.
3. La technique écrite est conservée, pas remplacée
Aucune des quatre opérations ne troque l'algorithme contre la manipulation. La potence reste la potence, la retenue reste la retenue. Ce qui change est leur statut : de procédure subie, elles deviennent un raccourci dont on connaît le chemin long — donc réparable quand la mémoire flanche.
4. Le temps du savoir se sépare du temps du calcul
Manipuler prend du temps. Ce temps n'est pas pris sur l'apprentissage : il est pris sur l'entraînement, qui vient après et qui reste nécessaire. Un élève qui a compris la retenue ne s'exerce pas moins ; il s'exerce sur autre chose qu'une imitation.
Le registre manipulable a lui-même un coût. Boîtes, rangs, sacs forment un système de signes qu'il faut apprendre. Un élève peut devenir habile dans ce registre-là sans convertir davantage — c'est l'écueil connu du matériel de numération, et aucun outil n'en dispense.
La taille des nombres borne le dispositif. Au-delà de quelques centaines d'objets, le dessin cesse de montrer. L'outil sert à construire l'opération, non à l'exécuter ; le confondre avec une calculatrice lente serait un contresens.
Rien ici ne constitue une preuve d'efficacité. Cette page est une analyse a priori, au sens didactique du terme : elle établit ce que le dispositif rend possible, pas ce qu'il produit. Mesurer le second exigerait un protocole — groupes comparés, tâches de conversion avant et après, erreurs classées — et ce travail reste à faire.
Le geste ne remplace pas la parole de l'enseignant. L'institutionnalisation — nommer, fixer, dire ce qui devient exigible — n'est pas dans l'outil et n'y sera jamais. Sans elle, la classe aura manipulé sans avoir appris.
L'outil des exemples ci-dessus est ouvert à tous, sans compte :
Ouvrir l'outil Entier naturelLa même analyse pour les entiers relatifs : quand le nombre n'a plus de collection derrière lui
Et pour les fractions : quand le nombre n'est plus une collection mais un rapport à l'unité
Références
- Duval, R. (1993). « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 5, 37-65.
- Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang.
- Duval, R. (2006). « A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics ». Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.
- Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée sauvage.
- Vergnaud, G. (1990). « La théorie des champs conceptuels ». Recherches en didactique des mathématiques, 10(2-3), 133-170.
- Ministère de l'Éducation du Québec. Programme de formation de l'école québécoise — arithmétique, sens des opérations.
Publié le 15 septembre 2026 à 22 h 10 (HAE).