Les registres de représentation sémiotique
La théorie de Raymond Duval : reconnaissance, traitement, conversion, coordination — du premier cycle du primaire au calcul différentiel.
Le paradoxe cognitif des mathématiques
Un objet mathématique ne se voit pas, ne se touche pas, ne se pèse pas. Le nombre trois n'est ni le mot « trois », ni le signe « 3 », ni trois jetons, ni le troisième point d'une droite graduée. On n'y accède que par des représentations — et c'est là que tout se joue.
Raymond Duval formule ainsi le paradoxe qui commande, selon lui, l'essentiel des difficultés d'apprentissage : d'un côté, l'accès aux objets mathématiques passe nécessairement par des représentations sémiotiques ; de l'autre, il ne faut surtout pas confondre l'objet avec l'une quelconque de ses représentations. L'élève qui croit que le nombre est le signe écrit ne pourra jamais admettre que 0,5, ½, 50 % et un demi-tour de cadran parlent du même objet. Duval le résume d'une formule : il n'y a pas de noésis sans sémiosis — pas de saisie conceptuelle sans production de signes (Duval, 1993 ; 1995).
La conséquence pédagogique est brutale et rarement tirée : si l'objet n'est accessible que par ses représentations, alors comprendre, c'est pouvoir passer de l'une à l'autre sans perdre l'objet. Ce n'est pas un supplément d'âme qu'on ajoute quand le calcul est acquis ; c'est le critère même de la compréhension. Un élève qui réussit tous les calculs dans un seul système d'écriture et qui ne reconnaît plus rien dès qu'on change de support n'a pas « des lacunes » : il n'a pas construit l'objet.
Le matériel de manipulation n'est pas « le concret » opposé à « l'abstrait ». C'est un registre de plus, avec ses règles, ses unités signifiantes et son coût d'apprentissage. Une réglette ne contient pas plus de sens qu'un chiffre : elle en porte un autre. Croire l'inverse conduit à la classe où l'on manipule beaucoup et où l'on ne convertit jamais.
Ce qui fait qu'un système de signes est un registre
Tout système de signes n'est pas un registre de représentation. Duval en fixe trois conditions : un registre doit permettre (1) de former une représentation identifiable comme représentation d'un objet, (2) de la transformer à l'intérieur du système selon des règles propres, (3) de la convertir en une représentation d'un autre registre. Une photographie représente ; elle ne se transforme pas par des règles internes produisant de nouvelles connaissances : ce n'est pas un registre.
La typologie : deux axes, quatre familles
Duval croise deux distinctions. Un registre est discursif s'il permet d'affirmer, de nier, de déduire ; non discursif s'il donne à voir une organisation d'un coup. Il est monofonctionnel si ses traitements sont essentiellement algorithmiques ; multifonctionnel s'ils ne le sont pas (Duval, 2006).
| Représentations discursives | Représentations non discursives | |
|---|---|---|
| Registres multifonctionnels traitements non algorithmisables |
Langue naturelle : description, définition, argumentation, déduction.« Un nombre pair est un nombre qui se partage en deux parts égales. » | Figures géométriques : configurations planes ou en volume, appréhension opératoire.Le carré qu'on décompose en deux triangles pour voir l'aire. |
| Registres monofonctionnels traitements principalement algorithmiques |
Systèmes d'écriture : numérique, algébrique, symbolique ; le calcul.47 + 38 ; 3(x + 2) ; ∫f(x)dx | Graphiques cartésiens, schémas, droite numérique, tableaux.La droite d'équation y = 2x − 1 tracée dans un plan. |
Cette grille n'est pas un ornement : elle prédit les difficultés. Les conversions les plus coûteuses sont celles qui traversent les deux axes à la fois — passer d'un énoncé en langue naturelle (multifonctionnel, discursif) à une équation (monofonctionnel, discursif) est déjà difficile ; passer d'un énoncé à un graphique (non discursif) l'est davantage.
Les quatre opérations cognitives
Reconnaissance
Identifier, dans une représentation, l'objet dont elle parle et les unités signifiantes qui la composent. C'est un acte, jamais une perception : rien dans le signe « 6 » ne dit s'il vaut six ou soixante.
Traitement
Transformer une représentation à l'intérieur de son registre : calculer, factoriser, recomposer une figure, translater une courbe. C'est ce que l'école enseigne le plus — et souvent le seul.
Conversion
Changer de registre en parlant du même objet. Duval l'établit sur données : la conversion est massivement plus coûteuse que le traitement, et elle n'est presque jamais enseignée pour elle-même.
Coordination
Tenir ensemble ce que chaque registre montre, circuler dans les deux sens, choisir le registre utile. C'est le critère de la compréhension, et le seul qui distingue savoir-faire et savoir.
Voir n'est pas reconnaître
La reconnaissance consiste à identifier, dans une représentation donnée, l'objet dénoté et les unités signifiantes qui portent le sens. Duval insiste : une représentation n'a de valeur cognitive que si l'on discrimine ce qui, en elle, est pertinent — et cette discrimination n'a rien de spontané.
Une unité signifiante est le plus petit élément d'une représentation dont la variation change l'objet dénoté. Dans « 62 », les unités sont le chiffre et sa place : changer la place change le nombre. Dans y = 2x + 3, ce sont le coefficient 2, le terme 3, le signe de chacun, et la position de x. Dans une droite tracée, ce sont l'inclinaison, le point de coupe de l'axe vertical, le sens de la montée. Une tâche de reconnaissance bien faite fait travailler ces unités, une à une.
Le 6 de « 62 » ne vaut pas six
La valeur de position est le premier acte de reconnaissance de la scolarité, et il est contre-intuitif : le signe ne porte pas sa valeur, sa place la porte. L'élève qui écrit « six cent deux » pour 62 n'a pas mal écouté : il a reconnu deux unités là où il y en a trois (le 6, le 2, et la position).
Registres : écriture chiffrée ↔ mot-nombre ↔ matériel base dix.
Reconnaître trois quarts
Un disque partagé, une collection de douze billes dont neuf sont rouges, un point sur une droite graduée, l'écriture ¾ : quatre représentations, un objet. La reconnaissance exige ici d'identifier le tout, qui n'est pas au même endroit dans les quatre. Sur la collection, le tout n'est visible nulle part : il faut le reconstituer.
Piège classique : compter les parties sans vérifier qu'elles sont égales.
0,45 et 0,7
Demander lequel est le plus grand révèle deux conceptions stables : la règle « plus il y a de chiffres, plus c'est grand » (importée des entiers) et la règle inverse « plus il y a de chiffres après la virgule, plus c'est petit ». Les deux sont des reconnaissances cohérentes d'unités signifiantes… mal choisies.
Resnick et al. (1989) ; Sackur-Grisvard & Léonard (1985) ; Brousseau (1980).
Le carré posé sur la pointe
Beaucoup d'élèves refusent le nom de « carré » à un carré incliné de 45° : ils ont reconnu une forme globale, pas un objet défini par ses propriétés. Duval appelle déconstruction dimensionnelle le passage du contour vu d'un bloc (dimension 2) aux segments et aux angles (dimension 1) qui le définissent.
Duval (2005) ; van Hiele (1986) pour les niveaux de pensée géométrique.
Reconnaître une structure
Voir dans 4x² − 9 une différence de carrés, c'est reconnaître (2x)² − 3² sous l'écriture donnée. C'est une reconnaissance de forme, pas un calcul : aucun algorithme ne la produit. Arcavi nomme sens du symbole cette capacité à lire une expression comme une structure plutôt que comme une suite de signes.
Arcavi (1994) ; Kieran (2007).
Trois statuts pour une même lettre
Dans 3x + 5 = 17, x est une inconnue ; dans P = 2(L + l), ce sont des variables ; dans y = ax + b, a et b sont des paramètres. Même signe, trois objets. Küchemann montre que la plupart des élèves de 13-15 ans traitent la lettre comme un objet ou l'ignorent purement et simplement.
Küchemann (1981) ; Booth (1984).
La même fonction affine, quatre fois
« Un taxi coûte 4 $ puis 2 $ du kilomètre », un tableau de valeurs, une droite, et y = 2x + 4. La reconnaissance porte sur les unités : où est le 4 dans le tableau ? où est-il sur le graphique ? où est le 2 dans l'énoncé ? Poser ces trois questions est l'enseignement de la fonction affine.
Janvier (1987) ; Leinhardt, Zaslavsky & Stein (1990).
Reconnaître une dérivée
f′(a) est : la pente de la tangente, la limite d'un taux de variation, la vitesse instantanée, le nombre lu sur un graphique de f′. Un étudiant peut dériver sans faute et ne reconnaître aucune de ces quatre-là dans les trois autres. C'est exactement ce que mesure Orton : les erreurs ne sont pas de calcul, elles sont structurelles.
Orton (1983) ; Tall & Vinner (1981).
« Qu'est-ce qui est le même ? »
Projetez cinq représentations d'un même objet (trois quarts, ou 0,75, ou 75 %) et une intruse. Consigne : « Lesquelles parlent du même nombre ? Montrez, dans chacune, ce qui le dit. »
- Les élèves désignent d'abord globalement (« c'est pareil ») : refusez, demandez l'unité.
- Faites varier UNE unité dans une représentation (le disque devient cinq parts) et demandez ce qui change dans les autres.
- Concluez sur la distinction objet / représentation : on a changé la représentation sans changer le nombre, puis on a changé le nombre sans toucher à l'écriture.
Transformer sans changer de registre
Le traitement est la transformation d'une représentation en une autre du même registre, selon les règles propres à ce registre. C'est l'opération que l'école connaît le mieux — au point de la confondre avec les mathématiques elles-mêmes.
Le point que Duval ajoute, et qui est décisif pour l'enseignement, est celui-ci : le coût d'un traitement dépend du registre où on le fait. Un même problème devient trivial ou impraticable selon le registre choisi. Choisir le registre de traitement est donc un acte mathématique à part entière — et c'est un acte de coordination, pas de calcul.
Deux traitements pour 25 × 16
Dans le registre de l'écriture posée : trois lignes, deux retenues. Dans le registre du calcul mental décomposé : 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400, en une seconde. Même registre numérique, deux traitements ; celui qui n'en connaît qu'un n'a pas le choix.
L'algorithme posé est un traitement
Poser 2,34 + 1,8 et dérouler l'algorithme ne fait pas sortir du registre de l'écriture chiffrée : retenue comprise, tout s'y passe. Le matériel base dix, lui, est un autre registre : y grouper dix dixièmes en une unité est un traitement de ce registre-là. Faire les deux en parallèle, c'est de la coordination — et c'est ce que fait l'outil Entier naturel.
La reconfiguration figurale
Découper un parallélogramme et recoller le triangle de gauche à droite pour obtenir un rectangle : c'est un traitement dans le registre figural, et il démontre la formule de l'aire sans un seul calcul. Duval montre que ce « regard opératoire » sur la figure est l'un des traitements les plus puissants — et les moins enseignés.
Duval (1995, chap. 5) ; Duval (2005).
Développer, factoriser : deux sens d'un même registre
(x + 3)(x − 3) → x² − 9 est un traitement algorithmique ; le sens inverse ne l'est pas — il exige d'abord une reconnaissance de forme. C'est pourquoi les élèves développent bien mieux qu'ils ne factorisent, alors qu'on présente souvent les deux comme symétriques.
Résoudre : deux traitements, deux sens
« Je fais la même chose des deux côtés » conserve l'équivalence et s'appuie sur la balance ; « je fais passer de l'autre côté en changeant le signe » est un traitement purement formel, plus rapide et plus opaque. L'élève qui n'a que le second ne peut pas dire pourquoi il a le droit.
Filloy & Rojano (1989) ; Vlassis (2002).
Traiter dans le graphique
Translater la courbe de f de 3 unités vers le haut, lire l'intersection de deux droites, comparer deux pentes : ce sont des traitements graphiques. Résoudre f(x) = g(x) par lecture d'intersection est souvent plus économique que le traitement algébrique — et c'est parfois le seul possible.
Le tableau de variations
Passer du signe de f′ au sens de variation de f, à l'intérieur d'un tableau, est un traitement dans un registre à part entière — non discursif, monofonctionnel, avec ses règles d'écriture. On l'enseigne comme une mise en forme ; c'est un outil de raisonnement.
Reformuler est un traitement
Récrire « Paul a 3 billes de moins que Julie » en « Julie a 3 billes de plus que Paul » est un traitement dans le registre de la langue naturelle. Il ne change pas de registre — et il change tout : la seconde formulation est congruente avec l'écriture additive, la première ne l'est pas.
Une épreuve composée uniquement de traitements mesure une virtuosité locale, pas une compréhension. Elle peut être réussie à 100 % par un élève incapable de reconnaître l'objet ailleurs : Duval appelle cela l'enfermement mono-registre. C'est le résultat le plus dérangeant de sa théorie pour nos pratiques d'évaluation.
Changer de registre sans changer d'objet
La conversion transforme une représentation en une représentation d'un autre registre, en conservant l'objet dénoté. C'est l'opération la plus coûteuse, la moins enseignée, et celle qui discrimine le plus les élèves.
La congruence : pourquoi certaines conversions sont faciles
Duval établit que le coût d'une conversion ne dépend pas des registres en jeu, mais de leur congruence dans le cas considéré. Trois critères :
- Correspondance sémantique des unités signifiantes : à chaque unité de départ correspond une unité d'arrivée.
- Univocité sémantique terminale : une unité de départ ne correspond qu'à une seule unité d'arrivée.
- Conservation de l'ordre des unités d'une représentation à l'autre.
Quand les trois sont remplis, la conversion est congruente : elle paraît aller de soi, elle se fait presque mot à mot. Qu'un seul manque, et le taux de réussite s'effondre — souvent de plus de quarante points, pour la même classe, sur la même notion.
L'élève qui écrit « 3 − 8 » n'a pas mal compris la soustraction : il a fait une conversion mot à mot, exactement celle que l'école lui a apprise à faire quand elle était congruente. C'est notre enseignement des cas faciles qui produit l'erreur dans les cas difficiles.
« Dans cette université, il y a six fois plus d'étudiants que de professeurs. Écrivez l'équation. »
Clement observe ce renversement chez 37 % d'étudiants en génie — pas chez des débutants. La cause est sémiotique : l'ordre des mots (« six fois plus d'étudiants ») induit « 6 » à côté de « E ». La conversion non congruente résiste aux années d'algèbre.
Clement (1982), Journal for Research in Mathematics Education, 13(1), 16-30.
La conversion n'est pas symétrique
Duval insiste sur un fait que l'enseignement ignore presque toujours : réussir A → B ne dit rien de B → A. Passer d'une équation à sa droite se fait par une procédure enseignée (table de valeurs, deux points) ; passer d'une droite tracée à son équation exige de reconnaître des unités visuelles et de les convertir en unités symboliques — ce qui n'est presque jamais travaillé. Les écarts de réussite entre les deux sens dépassent régulièrement trente points.
Les douze conversions de la fonction
Quatre registres usuels pour une fonction : l'énoncé, la table, le graphique, la formule. Douze conversions possibles. Voici lesquelles l'enseignement travaille réellement.
| De ↓ vers → | Énoncé | Table | Graphique | Formule |
|---|---|---|---|---|
| Énoncé | — | couranton calcule des cas | rareexige de choisir les axes | difficilemise en équation |
| Table | raredécrire une régularité | — | courantplacer des points | raretrouver la règle |
| Graphique | rareraconter la situation | courantlire des valeurs | — | rareidentifier les paramètres |
| Formule | raredire ce qu'elle décrit | courantcalculer des images | couranttracer | — |
Le constat saute aux yeux : l'enseignement descend presque toujours de la formule vers le reste, et remonte rarement. Or c'est la remontée — graphique → formule, énoncé → formule — que la vie professionnelle et les sciences exigent. Janvier (1987) ; Lesh, Post & Behr (1987) ; Leinhardt et al. (1990).
Du problème à l'écriture
« J'avais des billes, j'en gagne 4, j'en ai 11. » La conversion congruente donnerait « ? + 4 = 11 » ; l'écriture attendue est « 11 − 4 ». Vergnaud montre que les problèmes additifs ne forment pas une classe : leur difficulté tient à la place de l'inconnue, c'est-à-dire à la congruence de la conversion.
Vergnaud (1990), champ conceptuel des structures additives.
Fraction, décimal, pourcentage
¾ → 0,75 se fait par un algorithme ; 0,75 → ¾ exige de reconnaître 75/100 puis de simplifier ; ¾ → 75 % suppose le passage par la centaine. Trois conversions de coûts très différents, présentées comme une seule « transformation d'écriture ».
La figure et l'expression
Un rectangle de côtés (x + 2) et (x + 3), découpé en quatre régions, donne x² + 3x + 2x + 6. Le registre figural devient un registre de contrôle du registre algébrique : l'élève qui écrit (x + 2)(x + 3) = x² + 6 voit, dans la figure, les deux rectangles qu'il a oubliés.
Le graphique n'est pas une photo
Devant un graphique position-temps en forme de descente, beaucoup d'élèves décrivent « un vélo qui descend une pente ». La conversion graphique → situation est traitée comme une lecture iconique : la courbe est prise pour l'image du mouvement, pas pour la relation entre deux grandeurs.
Janvier (1978) ; Bell & Janvier (1981) ; Monk (1992).
Congruente ou non ? Et pourquoi ?
Donnez huit conversions écrites sur des cartons. Les équipes les classent en deux tas, puis justifient par les trois critères. L'intérêt n'est pas le classement : c'est le moment où deux équipes ne sont pas d'accord.
- « Le double de sept » → 2 × 7 (congruente)
- « Sept de moins que le double d'un nombre » → 2n − 7 (ordre inversé)
- « Le quotient de 12 par 4 » → 12 ÷ 4 (congruente)
- « Combien de fois 4 entre-t-il dans 12 ? » → 12 ÷ 4 (non congruente : l'ordre des mots donne 4 puis 12)
- « Un rabais de 20 % » → × 0,8 (aucune correspondance d'unités)
- « La droite monte de 2 quand on avance de 1 » → pente = 2 (congruente)
- « Il y a 5 garçons de plus que de filles » → G = F + 5 (ordre inversé, erreur fréquente : G + 5 = F)
- « f est décroissante sur [0, 3] » → f′ ≤ 0 sur [0, 3] (non congruente : changement d'objet)
La coordination inter-registres
Coordonner deux registres, ce n'est pas savoir faire les deux conversions. C'est reconnaître le même objet dans deux représentations qui ne se ressemblent en rien, et savoir, devant un problème, laquelle des deux fera le travail.
Duval est net sur ce point : la coordination n'est pas spontanée, elle ne résulte pas de l'accumulation des deux registres, et elle doit faire l'objet d'un enseignement propre. La juxtaposition de représentations — montrer la figure et la formule — ne coordonne rien : elle donne à voir deux choses, et l'élève en retient une.
L'outil de la coordination : la variation concomitante
La tâche qui installe la coordination consiste à faire varier une seule unité signifiante dans un registre et à demander ce qui varie dans l'autre. On ne demande pas de convertir : on demande d'apparier les unités. Voici la table complète pour la fonction affine, telle qu'on peut la construire avec une classe de 3e secondaire.
| On change… | Dans l'écriture y = ax + b | Sur le graphique | Dans la table de valeurs | Dans l'énoncé (taxi) |
|---|---|---|---|---|
| la valeur de a | le coefficient de x | l'inclinaison de la droite | l'écart entre deux y consécutifs | le prix du kilomètre |
| le signe de a | le signe devant x | le sens : monte ou descend | les y augmentent ou diminuent | on paie ou on est remboursé |
| la valeur de b | le terme constant | la hauteur où la droite coupe l'axe | la valeur pour x = 0 | la prise en charge |
| a = 0 | x disparaît | droite horizontale | tous les y égaux | tarif unique, peu importe la distance |
| b = 0 | plus de constante | la droite passe par l'origine | proportionnalité : y/x constant | pas de prise en charge |
Cette table n'est pas un résumé à distribuer : c'est la trace d'un travail à faire faire. Construite par les élèves, ligne par ligne, avec un curseur qu'on déplace et une droite qui bouge, elle installe la coordination. Distribuée toute faite, elle ne produit rien — elle devient un contenu de plus à mémoriser, dans un registre de plus.
Les quatre tâches qui coordonnent
Variation concomitante
On modifie une unité dans le registre A ; l'élève annonce avant de regarder ce que cela change dans le registre B. L'anticipation est essentielle : sans elle, l'élève constate au lieu de prévoir.
Conversion aller-retour
On convertit A → B, puis on part de B pour revenir à A, et l'on compare avec le point de départ. L'écart entre l'aller et le retour est le lieu exact de la non-congruence : il se discute en classe.
Discrimination
Deux représentations proches dans le registre B, une seule correspond à A : laquelle, et à quoi le voit-on ? La proximité force à descendre jusqu'aux unités — on ne peut plus répondre globalement.
Choix du registre
Un problème, deux registres possibles : lequel coûte le moins ? Résoudre 2x + 1 = x² − 2 par lecture graphique ou par l'algèbre ? La réponse dépend de ce qu'on demande — exacte ou approchée — et c'est cela qu'il faut faire dire.
Ajouter une image congruente à un énoncé ne coordonne rien : l'image redit ce que le texte disait déjà, dans le même ordre, avec les mêmes unités. L'élève n'a aucun travail sémiotique à faire — et c'est pour cela qu'il aime ces exercices, et qu'ils ne lui apprennent rien.
La coordination se travaille sur la non-congruence, c'est-à-dire précisément là où les deux représentations ne se correspondent pas terme à terme. Une illustration qui ne résiste pas n'enseigne pas.
La coordination entre plusieurs registres
Au-delà de deux registres, la coordination cesse d'être une paire de conversions : elle devient un réseau. Le critère de la compréhension conceptuelle n'est plus « sait convertir », mais circule librement, dans tous les sens, et sait où aller.
Un objet, six registres : l'équation du second degré
Prenons x² − 5x + 6 = 0, au 4e ou 5e secondaire. Le même objet — l'ensemble de ses solutions — se donne dans six registres, et chacun montre quelque chose que les autres taisent.
| Registre | Ce qu'on y voit | Ce qu'on n'y voit pas |
|---|---|---|
| Écriture développée x² − 5x + 6 = 0 | la somme et le produit des racines (5 et 6), le degré | les racines elles-mêmes |
| Écriture factorisée (x − 2)(x − 3) = 0 | les racines, immédiatement | l'ordonnée à l'origine se calcule ; la symétrie n'apparaît pas |
| Forme canonique (x − 2,5)² − 0,25 | le sommet, l'axe de symétrie, le minimum | les racines demandent encore un pas |
| Graphique | le nombre de solutions, leur signe, le comportement global | les valeurs exactes |
| Tableau de signes | où l'expression est positive, négative | la forme de la courbe |
| Figure d'aire complétion du carré | pourquoi la forme canonique fonctionne | les cas où le coefficient est négatif |
Un élève qui ne dispose que du registre développé et de la formule quadratique obtient les bonnes réponses. Il ne peut pas répondre à « pour quelles valeurs de k l'équation x² − 5x + k = 0 n'a-t-elle aucune solution ? » sans passer par le graphique ou la forme canonique. La question ne mesure pas un calcul de plus : elle mesure un réseau.
Trois principes pour orchestrer un réseau
- Jamais plus de deux registres à la fois en introduction. Le réseau se construit par arêtes, pas par affichage simultané. Trois représentations montrées ensemble donnent trois objets pour l'élève, pas un objet en trois langues.
- Toujours les deux sens. Une arête n'est acquise que lorsque le retour est aussi sûr que l'aller. C'est le retour qu'il faut évaluer : il ne s'automatise pas.
- Un registre de contrôle désigné. Dans chaque chapitre, décidez quel registre sert à vérifier les autres — la figure d'aire pour le développement algébrique, le graphique pour les équations, le matériel base dix pour les algorithmes écrits. L'élève doit savoir où aller quand il doute.
Quelles arêtes enseignez-vous réellement ?
Prenez un chapitre que vous enseignez cette année. Dessinez les registres que vous utilisez, puis tracez une flèche pour chaque conversion que vous faites faire aux élèves — pas celles que vous montrez au tableau.
- Comptez les flèches à double sens. Elles sont, en général, très peu nombreuses.
- Repérez les registres qui ne reçoivent jamais de flèche entrante : ce sont des illustrations, pas des registres de travail.
- Choisissez une arête manquante et construisez la tâche de variation concomitante correspondante. Une par chapitre suffit à changer l'année.
Ce que les élèves construisent quand on leur enseigne l'algèbre
Les conceptions erronées en algèbre ne sont pas des bêtises : ce sont des règles cohérentes, apprises sur des cas congruents, et appliquées là où elles ne valent plus. Les lire en termes de registres, c'est cesser de les corriger une par une.
Interrogés, une large majorité d'élèves du primaire et du début du secondaire répondent 12 ou 17 : le premier lit « 8 + 4 donne », le second additionne tout. Le signe « = » n'est pas pour eux une relation d'équivalence mais un opérateur d'annonce, hérité de sept années d'écritures où il n'apparaît qu'à droite d'un calcul.
Conséquence directe en algèbre : une équation n'est pas perçue comme une affirmation qu'on peut transformer en conservant sa vérité, mais comme un ordre d'exécution. La balance n'a alors plus de sens : on ne met pas une consigne en équilibre.
Kieran (1981) ; Falkner, Levi & Carpenter (1999) ; Vlassis (2002) pour le statut du signe « − ».
La lettre est une étiquette
« 3p » est lu « trois pommes » et non « trois fois le nombre de pommes ». La lettre désigne un objet, pas un nombre. L'élève qui écrit 3p + 2b n'a alors aucune raison de refuser 5pb : il regroupe des objets.
Küchemann (1981) : letter as object. Souvent entretenu par nos propres énoncés (« p pour pommes »).
La concaténation additionne
2a est lu « 2 et a » : en arithmétique, écrire deux signes côte à côte (le 2 et le 5 de 25) additionne bien — vingt et cinq. Le registre algébrique inverse la convention sans le dire. La conception vient de la cohérence avec le registre précédent, pas d'un défaut d'attention.
La coupure arithmétique / algèbre
Tant que l'inconnue n'est que d'un côté, on peut résoudre par retour en arrière, sans algèbre. Dès que l'équation a des inconnues des deux côtés (3x + 5 = x + 13), cette voie se ferme : Filloy et Rojano nomment cette frontière la coupure didactique.
Filloy & Rojano (1989) ; Bednarz, Kieran & Lee (1996).
Procédural et structural
3x + 5 est à la fois un processus (« prends x, triple, ajoute 5 ») et un objet (« cette expression »). Sfard montre que la conception opérationnelle précède toujours la conception structurale, et que le passage — la réification — est un saut, pas une progression continue.
Sfard (1991) ; Gray & Tall (1994) pour la notion de procept.
Lecture sémiotique d'ensemble. L'algèbre est un registre monofonctionnel dont les règles de formation diffèrent de celles de l'arithmétique et de la langue naturelle, tout en réutilisant les mêmes signes. L'élève arrive avec des habitudes de lecture qui étaient exactes ; elles deviennent fausses sans qu'aucun signe extérieur ne l'avertisse. C'est pourquoi l'entrée dans l'algèbre demande un travail explicite sur les unités signifiantes — ce que ne fait pas une progression organisée par types d'exercices.
Limite, dérivée, fonction : les images qui résistent
En analyse, l'écart entre la définition d'un concept et l'image mentale que l'étudiant en a devient si grand que la définition cesse d'être utilisée — même par ceux qui la récitent.
Tall et Vinner distinguent la concept definition — le texte formel — de la concept image, l'ensemble des images, exemples et propriétés associés au mot dans l'esprit de l'apprenant. Leur résultat : c'est l'image qui décide, la définition n'étant convoquée que lorsqu'on la demande explicitement. En termes de registres : l'étudiant travaille dans un registre (graphique, verbal) et répond dans un autre (symbolique), sans coordination entre les deux.
« On s'approche sans jamais atteindre »
Conception quasi universelle, renforcée par nos exemples (1/n, 0,9, 0,99, 0,999…). Elle rend inacceptable qu'une suite constante converge, que 0,999… = 1, ou qu'une fonction atteigne sa limite. Cornu en fait un obstacle épistémologique : il a existé dans l'histoire avant d'exister dans nos classes.
Cornu (1991) ; Tall & Vinner (1981) ; Sierpińska (1987).
Trois objets sous un seul nom
f′(a) comme pente (registre graphique), comme limite d'un taux (registre symbolique), comme vitesse (registre de la situation). Orton montre que les erreurs des étudiants portent rarement sur la technique de dérivation : elles portent sur le passage du taux moyen au taux instantané, c'est-à-dire sur une conversion.
Orton (1983) ; Artigue (1991).
La lecture iconique
Le graphique est pris pour l'image de la situation : une courbe descendante devient une pente à descendre, un maximum devient une colline. Cette lecture n'est pas absurde — elle est congruente, et c'est justement pour cela qu'elle s'installe. Il faut des situations où elle échoue pour qu'elle cède.
Janvier (1978) ; Bell & Janvier (1981) ; Monk (1992).
Point contre intervalle
Beaucoup d'étudiants raisonnent point par point : ils savent calculer f(3) mais ne conçoivent pas la variation comme un objet. Monk oppose la lecture ponctuelle à la lecture globale ; la seconde est la condition d'entrée dans l'analyse, et elle se travaille dans le registre graphique.
« Sans lever le crayon »
L'image gestuelle est efficace et fausse : elle ne survit ni aux fonctions définies sur des domaines disjoints, ni à la continuité en un point. Elle vient d'un registre — le geste — qu'on n'a jamais articulé à la définition formelle.
Aire, primitive, somme
Trois registres pour un objet : la région sous la courbe, l'antidérivée, la limite d'une somme de Riemann. Un étudiant peut calculer des primitives pendant une session entière sans jamais coordonner les trois — et se trouver démuni devant une intégrale négative.
En arithmétique, les registres restent congruents assez longtemps pour que l'élève avance sans coordonner. En analyse, plus rien n'est congruent : la définition de la limite n'a aucune unité signifiante commune avec l'image du rapprochement, et le symbole dy/dx ne se lit pas comme un quotient. L'analyse ne crée pas les difficultés de coordination : elle rend visibles celles qu'on a laissé passer pendant dix ans.
Le cours en deux heures
Un minutage éprouvé, pour un auditoire d'enseignants ou d'étudiants en formation. Le principe : aucune notion n'est exposée avant d'avoir été rencontrée comme problème.
Cinq représentations de trois quarts et une intruse. « Qu'est-ce qui est le même ? » On laisse le désaccord s'installer avant d'énoncer quoi que ce soit.
Les trois conditions, la typologie en quatre cases. Chaque participant place trois représentations de sa propre discipline dans le tableau.
Unités signifiantes. Atelier 1. Cas travaillés : valeur de position, 0,45 contre 0,7, le carré sur la pointe, la différence de carrés.
Le même calcul dans deux registres ; comparaison du coût. Insister sur : réussir un traitement ne prouve rien sur l'objet.
Laisser au tableau les deux écritures de 25 × 16 : la discussion reprend d'elle-même.
Les trois critères. Atelier 2 (tri des huit conversions). L'erreur de renversement de Clement en clôture : l'auditoire la commet, presque toujours.
Variation concomitante sur y = ax + b, construite en direct. Les quatre tâches qui coordonnent.
L'équation du second degré dans six registres. Atelier 3 : cartographier son propre chapitre.
La grille d'analyse de tâche, distribuée à la fin seulement — pour qu'elle serve de mémoire, pas de plan.
Grille d'analyse d'une tâche
À passer sur n'importe quel exercice de manuel, en quatre questions. Elle tient sur une fiche et change la façon de choisir ses exercices.
| Question | Ce qu'on cherche | Ce qu'on en tire |
|---|---|---|
| 1. Quels registres ? | Celui de l'énoncé, celui attendu dans la réponse. | S'ils sont identiques, la tâche ne demande qu'un traitement. |
| 2. Quelle opération ? | Reconnaissance, traitement, conversion, coordination. | Un chapitre entier fait de traitements n'enseigne pas l'objet. |
| 3. Congruente ? | Les trois critères appliqués au cas précis. | Une tâche congruente ne prépare pas aux non congruentes. |
| 4. Le sens inverse existe-t-il ? | La même tâche, prise à l'envers. | S'il n'existe nulle part dans le chapitre, l'arête n'est pas enseignée. |
Et dans le programme québécois
Le Programme de formation de l'école québécoise organise la mathématique autour de trois compétences : résoudre une situation-problème, raisonner à l'aide de concepts et de processus, et communiquer à l'aide du langage mathématique. Cette troisième compétence est, mot pour mot, une compétence de conversion et de coordination — elle demande à l'élève d'interpréter et de produire des messages dans des registres différents. La théorie de Duval en donne les critères d'analyse et d'évaluation, que le programme ne fournit pas.
La Progression des apprentissages multiplie par ailleurs les indications de changement de registre : « représenter une fraction de différentes façons », « passer d'une forme d'écriture à une autre », « associer une situation à une représentation graphique ». Chacune de ces lignes est une conversion ; aucune ne précise dans quel sens, ni si le cas visé est congruent. C'est exactement là que l'analyse sémiotique se révèle utile en préparation de cours.
Ce qu'il faut retenir, et ce qu'il faut faire
- L'objet n'est pas la représentation. Tout le reste en découle, y compris les erreurs d'élèves qui nous paraissent absurdes.
- Le traitement se voit, la conversion se paie. Nos évaluations mesurent surtout le premier ; nos élèves échouent surtout sur la seconde.
- La congruence explique les écarts de réussite mieux que le « niveau » ou l'attention.
- La coordination ne s'attrape pas : elle s'enseigne, par la variation concomitante, l'aller-retour et la discrimination.
- Une arête par chapitre. C'est la plus petite décision qui change quelque chose : choisir une conversion non enseignée, et la faire travailler dans les deux sens toute l'année.
Pour voir la théorie à l'œuvre
Trois documents de ce site appliquent cette grille à des outils réels, opération par opération, sur des exemples numériques précis :
- Les quatre opérations sur les entiers naturels dans les registres de Duval — et l'outil, en libre accès.
- Les entiers relatifs dans les registres sémiotiques — et l'outil Jetons.
- Les quatre opérations sur les fractions — et l'outil Fractions, avec les animations.
- Les registres en exemples — cinq registres et les quatre activités, sur des tâches réelles du primaire à la 5e secondaire.
- L'intelligence pédagogique dialogique — le cadre dans lequel ces outils ont été conçus.
Le cadre : registres sémiotiques
- Duval, R. (1988). « Graphiques et équations : l'articulation de deux registres ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 1, 235-253.
- Duval, R. (1993). « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 5, 37-65.
- Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne : Peter Lang.
- Duval, R. (2005). « Les conditions cognitives de l'apprentissage de la géométrie ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 10, 5-53.
- Duval, R. (2006). « A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics ». Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), 103-131.
- Duval, R. (2017). Understanding the Mathematical Way of Thinking — The Registers of Semiotic Representations. Cham : Springer.
Représentations, conversions, fonctions
- Janvier, C. (dir.) (1987). Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Hillsdale : Lawrence Erlbaum.
- Lesh, R., Post, T. & Behr, M. (1987). « Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving ». Dans Janvier (dir.), op. cit.
- Bell, A. & Janvier, C. (1981). « The interpretation of graphs representing situations ». For the Learning of Mathematics, 2(1), 34-42.
- Leinhardt, G., Zaslavsky, O. & Stein, M. K. (1990). « Functions, graphs, and graphing : tasks, learning, and teaching ». Review of Educational Research, 60(1), 1-64.
- Monk, S. (1992). « Students' understanding of a function given by a physical model ». Dans Harel & Dubinsky (dir.), The Concept of Function. MAA.
Nombre, arithmétique, décimaux
- Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée sauvage.
- Vergnaud, G. (1990). « La théorie des champs conceptuels ». Recherches en didactique des mathématiques, 10(2-3), 133-170.
- Resnick, L. B. et al. (1989). « Conceptual bases of arithmetic errors : the case of decimal fractions ». Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), 8-27.
- Sackur-Grisvard, C. & Léonard, F. (1985). « Intermediate cognitive organizations in the process of learning a mathematical concept : the order of positive decimal numbers ». Cognition and Instruction, 2(2).
- Glaeser, G. (1981). « Épistémologie des nombres relatifs ». Recherches en didactique des mathématiques, 2(3), 303-346.
Algèbre
- Kieran, C. (1981). « Concepts associated with the equality symbol ». Educational Studies in Mathematics, 12(3), 317-326.
- Kieran, C. (2007). « Learning and teaching algebra at the middle school through college levels ». Dans F. Lester (dir.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM.
- Küchemann, D. (1981). « Algebra ». Dans K. Hart (dir.), Children's Understanding of Mathematics : 11-16. Londres : John Murray.
- Booth, L. (1984). Algebra : Children's Strategies and Errors. Windsor : NFER-Nelson.
- Clement, J. (1982). « Algebra word problem solutions : thought processes underlying a common misconception ». Journal for Research in Mathematics Education, 13(1), 16-30.
- Filloy, E. & Rojano, T. (1989). « Solving equations : the transition from arithmetic to algebra ». For the Learning of Mathematics, 9(2), 19-25.
- Sfard, A. (1991). « On the dual nature of mathematical conceptions ». Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36.
- Gray, E. & Tall, D. (1994). « Duality, ambiguity and flexibility : a proceptual view of simple arithmetic ». Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 116-140.
- Arcavi, A. (1994). « Symbol sense : informal sense-making in formal mathematics ». For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35.
- Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (dir.) (1996). Approaches to Algebra : Perspectives for Research and Teaching. Dordrecht : Kluwer.
- Falkner, K., Levi, L. & Carpenter, T. (1999). « Children's understanding of equality : a foundation for algebra ». Teaching Children Mathematics, 6(4), 232-236.
- Vlassis, J. (2002). « The balance model : hindrance or support for the solving of linear equations ». Educational Studies in Mathematics, 49(3), 341-359.
Analyse
- Tall, D. & Vinner, S. (1981). « Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity ». Educational Studies in Mathematics, 12(2), 151-169.
- Orton, A. (1983). « Students' understanding of differentiation ». Educational Studies in Mathematics, 14(3), 235-250.
- Cornu, B. (1991). « Limits ». Dans D. Tall (dir.), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht : Kluwer.
- Artigue, M. (1991). « Analysis ». Dans D. Tall (dir.), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht : Kluwer.
- Sierpińska, A. (1987). « Humanities students and epistemological obstacles related to limits ». Educational Studies in Mathematics, 18(4), 371-397.
Géométrie et cadre québécois
- van Hiele, P. M. (1986). Structure and Insight : A Theory of Mathematics Education. Orlando : Academic Press.
- Ministère de l'Éducation du Québec. Programme de formation de l'école québécoise — éducation préscolaire et enseignement primaire ; enseignement secondaire.
- Ministère de l'Éducation, du Loisir et du Sport. Progression des apprentissages en mathématique — primaire et secondaire.