Les quatre opérations sur les fractions dans les registres sémiotiques
Pourquoi deux tiers plus un quart ne fait pas trois septièmes — et ce que change un dispositif où le dénominateur commun n'est pas une règle qu'on applique, mais un découpage qu'on voit apparaître.
Un élève de deuxième secondaire qui écrit 23 + 14 = 37 n'a pas oublié une règle : il en a appliqué une, correctement, et elle existe. Additionner terme à terme est la règle des rapports : deux coups sûrs en trois présences, puis un en quatre, font bien trois en sept. Elle est juste là-bas, et fausse ici — parce qu'une moyenne au bâton se cumule, alors qu'une part de tarte s'ajoute. L'élève ne s'est pas trompé de calcul : il s'est trompé de registre.
C'est ce déplacement du regard que propose Raymond Duval. En mathématiques, on n'a jamais accès à l'objet, seulement à ses représentations ; et le nombre rationnel est, de toute la scolarité obligatoire, celui dont les représentations se contredisent le plus ouvertement.
Trois ruptures se produisent en même temps, et c'est leur simultanéité qui fait la difficulté :
- Le nombre perd sa collection. Derrière « 47 » il y a quarante-sept choses qu'on peut poser sur une table. Derrière « deux tiers », il n'y a rien à poser : il y a un rapport à une unité qu'il faut d'abord avoir choisie. Changez l'unité, la quantité change — alors que l'écriture, elle, n'a pas bougé.
- Un même nombre a une infinité d'écritures dans son propre registre. 23 = 46 = 812. C'est la première fois de la scolarité qu'un objet se présente ainsi, et c'est une exigence de traitement interne sans équivalent chez les entiers, où deux écritures différentes sont deux nombres différents.
- Les régularités des entiers naturels cessent d'être vraies. Multiplier n'agrandit plus, diviser ne diminue plus, et entre deux nombres il y en a toujours un autre. Ce que la recherche nomme le biais des nombres entiers n'est pas de l'ignorance : c'est une connaissance antérieure qui fonctionne encore, et qui déborde sur un terrain où elle n'a plus cours.
L'outil Fractions repose sur un pari didactique précis, et étroit : faire tenir, dans le même cadre et au même instant, l'écriture de la fraction et l'entier découpé dont elle parle — et faire en sorte que le geste sur l'un produise l'écriture de l'autre. Cette page examine ce pari, opération par opération, sur des exemples numériques, avec les quatre concepts de Duval comme instruments de mesure.
Chaque section porte un cadre où l'opération se fait : l'outil s'y manipule, et le bouton « Voir l'animation » la joue du premier trait de coupe jusqu'au résultat écrit. Ces animations ne sont pas des vidéos : ce sont les états que l'outil lui-même a produits pendant qu'on jouait l'opération à la souris, case par case. Rien n'y est mis en scène qu'un élève ne puisse refaire.
Quatre concepts, et ce qu'ils permettent de voir
Duval distingue quatre opérations cognitives sur les représentations. Les confondre, c'est confondre quatre difficultés très différentes — et proposer la même remédiation à toutes.
Reconnaissance
Identifier, dans une représentation, l'objet dont elle parle et les unités qui la composent. Reconnaître que le 3 de 23 ne compte rien — il nomme le découpage — est un acte de reconnaissance, et il n'a rien d'évident : les deux chiffres d'une fraction n'ont pas le même statut, alors qu'ils ont la même allure.
Traitement
Transformer une représentation à l'intérieur de son registre. Chez les fractions, le traitement décisif est l'équivalence : passer de 23 à 812 sans changer de nombre. Aucune somme n'est possible avant lui, et il n'a aucun équivalent chez les entiers.
Conversion
Passer d'un registre à un autre en parlant du même objet : de l'écriture 34 à une aire coloriée, d'une aire coloriée à un point sur la droite numérique, de « trois quarts d'heure » à 45 minutes. Duval l'établit sur des données d'enquête : la conversion est massivement plus coûteuse que le traitement, et elle n'est presque jamais enseignée pour elle-même.
Coordination
Reconnaître le même objet dans plusieurs registres et savoir lequel choisir. C'est le critère de la compréhension : non pas réussir dans un registre, mais tenir ensemble ce que chacun montre — et ce qu'aucun ne montre seul.
Ce que la fraction ajoute au tableau de Duval
Deux particularités du rationnel méritent d'être posées avant d'examiner les opérations, parce qu'elles expliquent pourquoi un dispositif qui marche pour les entiers ne se transpose pas tel quel.
Le même signe recouvre cinq significations. Les travaux de Kieren, puis de Behr, Lesh, Post et Silver, ont établi que 34 fonctionne tour à tour comme part d'un tout (trois parts sur quatre), comme mesure (un point entre 0 et 1), comme quotient (3 partagé entre 4), comme rapport (3 pour 4) et comme opérateur (prendre les trois quarts de). Ce ne sont pas cinq façons de dire la même chose : ce sont cinq réseaux de registres différents. Une classe qui n'a rencontré que le premier a appris une fraction qui ne sert pas à diviser.
La conversion y est rarement congruente. Duval appelle congruente une conversion où les unités d'une représentation correspondent une à une à celles de l'autre, dans le même ordre. « Trois quarts » → 34 l'est presque. Mais « 23 de 34 » → l'aire commune de deux découpages ne l'est pas du tout : rien dans l'écriture ne dit qu'il faudra couper deux fois, ni dans quel ordre. Or Duval le montre : la réussite dans un sens ne prédit pas la réussite dans l'autre, et une conversion non congruente ne s'acquiert pas en voyant le résultat — elle s'acquiert en la faisant.
Dans l'outil, tous les entiers ont exactement la même taille, et cette taille ne se règle qu'à la main, pour tout le cadre à la fois. Ce n'est pas une commodité graphique : c'est la condition de vérité du registre figural. Un demi de grand rectangle et un demi de petit rectangle ne se comparent pas, et une classe où l'on dessine les fractions à main levée produit, sans le vouloir, des figures qui démentent ce qu'elles illustrent.
Le registre manipulable ne devient juste que si l'unité y est tenue de force. C'est la première décision de conception de l'outil, et tout le reste en dépend.
Le dénominateur commun cesse d'être une règle : il apparaît
Dans l'enseignement ordinaire, « mettre au même dénominateur » est une consigne. Sa raison — on ne peut réunir que des parts de même taille — se dit en une phrase, puis disparaît : la suite du travail se passe entièrement dans le registre écrit, où rien ne rappelle à quoi servait l'opération.
Étape 1
L'entier découpé : 3 colonnes, 4 lignes.
Aucune couleur — on compte : 12 cases.
Étape 2
23 colorié : 2 colonnes sur 3.
Soit 8 cases sur 12.
Étape 3
14 colorié : 1 ligne sur 4.
Soit 3 cases sur 12.
Étape 4 — les parts détachées se rangent côte à côte : 8 et 3 font 11 cases sur 12. Il en manque une pour l'entier.
Dans le cadre : posez les parts vous-même — les fractions, elles, sont fixées. « Voir l’animation » joue l’opération entière, du premier trait de coupe jusqu’à la somme comptée part par part ; « Reprendre la main » vous la rend où elle en est.
Dans l'outil, l'addition se construit en quatre étapes, et la première ne contient aucune couleur : c'est le quadrillage seul qu'on regarde.
- L'entier est coupé verticalement en 3 (le dénominateur de la 1re fraction), puis horizontalement en 4 (celui de la 2e). Douze cases apparaissent, toutes égales. Nul n'a calculé 12 : on l'a obtenu en coupant, puis on le compte.
- Sur une copie du même quadrillage, on colorie 23 — deux colonnes entières. L'élève lit alors, dans une seule figure, deux écritures du même nombre : deux colonnes sur trois, et huit cases sur douze.
- Sur une troisième copie, on colorie 14 — une ligne entière, soit trois cases. L'étape 1 et l'étape 2 restent affichées à côté : on voit d'où vient le dessin.
- On détache les parts coloriées de leur entier et on les range : elles se comptent, et la somme s'écrit. 11 cases sur 12.
Une honnêteté nécessaire : le double découpage donne le produit des dénominateurs, pas leur plus petit commun multiple. Pour 23 + 14 les deux coïncident ; pour 14 + 16 l'outil montre 24 cases là où 12 suffisaient. Ce n'est pas un défaut à cacher, c'est une question à poser à la classe : la figure fournit un dénominateur commun qui marche toujours, et la recherche du plus petit devient ce qu'elle est — une optimisation, pas une condition.
Les deux chiffres de la fraction cessent d'avoir la même allure. Le dénominateur devient visiblement un acte — un trait de coupe —, le numérateur un comptage de ce que la coupe a produit. L'élève peut désigner du doigt ce que chacun des deux signes gouverne, ce qu'aucune écriture ne permet.
L'équivalence 2/3 = 8/12 n'est plus un calcul à croire, c'est une lecture de la même figure : les mêmes cases coloriées se comptent en colonnes ou à l'unité. Le traitement interne le plus coûteux du registre écrit reçoit ici sa justification dans un autre registre — et il reste ensuite exécutable sans lui.
Colorier et écrire sont un seul geste : la conversion écriture → aire n'est pas une illustration posée après coup, elle est le mouvement de la tâche. Et elle va dans les deux sens, ce qui est rare : on peut partir de la figure et demander quelle fraction s'y lit.
Trois registres tiennent dans le même cadre : l'écriture fractionnaire, l'aire découpée, le comptage des parts. L'erreur « 2/3 + 1/4 = 3/7 » n'y survit pas — trois cases sur sept ne correspondent à aucun découpage obtenable, et la figure refuse d'exister avant qu'un adulte ait eu à corriger.
Ce qu'on retire reste visible, barré
La soustraction partage avec l'addition toute sa première moitié : même découpage, même mise au même entier. Ce qui la sépare vient après — l'une réunit, l'autre retire. Et le dispositif fait un choix qui n'a l'air de rien : ce qu'on enlève n'est pas effacé, il est rayé.
Étape 2 — 34 colorié : 3 colonnes sur 4, soit 9 cases sur 12.
Étape 3 — 23 colorié : 2 lignes sur 3, soit 8 cases sur 12.
Étape 4 — les 9 parts de 34 sont détachées ; on en barre 8, celles qu'on retire. Il en reste une : 112.
Dans le cadre : l’animation va jusqu’au bout — les neuf parts de trois quarts détachées, puis les huit que retire deux tiers barrées une à une, et le reste écrit.
Le choix de barrer plutôt qu'effacer n'est pas esthétique. Il donne au traitement une trace relisible : l'élève — ou son voisin, ou l'enseignant — peut revenir sur ce qui a été fait, le discuter, le corriger. Un matériel qui fait disparaître ce qu'on retire oblige à se souvenir de l'étape précédente, et ce souvenir est précisément ce qui manque aux élèves en difficulté.
- Même découpage qu'à l'addition : 4 colonnes, 3 lignes, 12 cases.
- 34 se colorie en 3 colonnes : 9 cases.
- 23 se colorie en 2 lignes : 8 cases.
- On détache les 9, on en barre 8 : il reste 1 case sur 12.
Ce que la figure apprend et que l'écriture tait : 34 et 23 sont presque égales. Dans le registre écrit, rien ne le laisse soupçonner — les quatre chiffres en jeu sont petits et differents. Dans la figure, l'écart est une seule case sur douze, et il se voit avant tout calcul. C'est la capacité d'estimation, dont la recherche montre qu'elle prédit mieux la réussite ultérieure en algèbre que la maîtrise des procédures.
Le résultat 1/12 est reconnu comme une part du MÊME entier que les deux fractions de départ — et non comme un nouveau nombre sorti d'un calcul. La soustraction ne change pas d'unité, et c'est précisément ce qu'un élève qui écrit « 3/4 − 2/3 = 1/1 » n'a pas reconnu.
Le traitement écrit n'est pas remplacé : il est rendu vérifiable ligne à ligne. Chaque part barrée correspond à une unité retirée dans l'écriture, et un résultat aberrant se voit avant d'être écrit. Les parts rayées restent : le traitement garde sa trace, donc il peut être relu et discuté.
La conversion se fait dans les deux sens, et c'est ici qu'elle est la plus instructive : de l'écriture vers la figure pour agir, puis de la figure vers l'écriture pour nommer ce qui reste. Une différence minuscule entre deux fractions d'allure très différente ne s'apprend que par ce va-et-vient.
Le dispositif rend impossible la soustraction « chiffre par chiffre » (3−2 sur 4−3), qui donnerait 1/1. On ne peut pas retirer huit cases d'un ensemble qui n'en contient pas huit du même découpage : l'erreur rencontre une contrainte du milieu, au sens de Brousseau, et non la désapprobation d'un adulte.
« Multiplier agrandit » cesse d'être vrai, et on le voit
C'est la rupture la mieux documentée de tout le domaine. Fischbein et ses collaborateurs ont montré que les élèves portent un modèle implicite de la multiplication — l'addition répétée — qui rend le produit nécessairement plus grand que chaque facteur. Ce modèle est utile et vrai dans ℕ ; il devient faux dès que les facteurs sont inférieurs à 1, et il ne se corrige pas par un énoncé contraire.
Étape 2
On identifie 34 : 3 lignes sur 4.
C'est de cela qu'on prendra une part.
Étape 3
On prend 23 de ce qui est détaché : 2 colonnes des 3 lignes.
La preuve par les aires
La région commune compte 6 cases sur 12 : 12.
Dans le cadre : l’animation identifie les trois quarts, les détache, puis prend parmi elles les deux tiers — six parts sur neuf. C’est ce « parmi elles » qui fait tout le sens du produit.
L'outil ne met pas en scène la multiplication comme les deux opérations précédentes. Il la met en scène comme ce qu'elle est : une fraction d'une fraction. Le mot « de » y fait tout le travail, et c'est lui qu'on entend dans la langue avant de l'écrire : les deux tiers des trois quarts.
- On identifie d'abord la seconde fraction, 34 : c'est le matériau. On la détache de l'entier.
- On prend ensuite 23 de ce qui a été détaché, et non de l'entier d'origine. C'est la seule étape qui compte, et c'est celle que l'écriture 23 × 34 ne dit pas : rien dans ce symbole n'indique qu'un des deux facteurs est un opérateur agissant sur l'autre.
- La preuve par les aires affiche le résultat comme région commune : 2 colonnes × 3 lignes = 6 cases, sur 3 × 4 = 12. La règle « numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux » cesse d'être arbitraire : elle compte un rectangle.
La commutativité devient une surprise à expliquer, et c'est un bon problème de classe : « les deux tiers des trois quarts » et « les trois quarts des deux tiers » ne racontent pas la même histoire — mais ils colorient la même région, parce que l'intersection de deux bandes ne dépend pas de l'ordre où on les a tracées. Le registre figural démontre ici ce que le registre écrit se contente d'énoncer.
Le signe × cesse d'être lu « fois » au sens de répétition. L'élève reconnaît dans l'un des facteurs un OPÉRATEUR — « prendre les deux tiers de » — et dans l'autre ce sur quoi il opère. C'est la cinquième signification de la fraction (Kieren), celle qui ouvre plus tard sur la notion de fonction linéaire.
La règle du produit n'est pas supprimée : elle est démontrée dans un autre registre, puis gardée. Multiplier les numérateurs entre eux, c'est compter les colonnes retenues ; multiplier les dénominateurs, c'est compter les cases de l'entier. Une technique dont on connaît le dessin se répare quand la mémoire flanche.
C'est la conversion la moins congruente des quatre opérations : l'écriture 2/3 × 3/4 ne porte aucune trace du double découpage qu'elle exige, ni de l'ordre des gestes. C'est exactement le cas où, selon Duval, montrer le résultat ne suffit pas — il faut avoir effectué la conversion soi-même.
Trois lectures doivent finir par se répondre : « deux tiers de trois quarts » (langue), l'aire commune (figure), 6/12 puis 1/2 (écriture). Tant qu'elles restent séparées, l'élève a trois savoirs fragiles et conserve l'idée que multiplier agrandit ; coordonnées, elles s'invalident l'une l'autre jusqu'à ce que le modèle implicite cède.
« Combien de fois y entre-t-il ? » — la seule question qui reste posable
Diviser par une fraction est l'endroit où l'enseignement renonce le plus souvent à expliquer : on donne la règle — multiplier par l'inverse — et l'on passe à autre chose. La raison de ce renoncement est connue : l'une des deux significations de la division cesse d'avoir un sens, et personne ne le dit à l'élève.
Étape 2 — 34 sur l'entier coupé en 4 colonnes et 2 lignes : 6 cases sur 8.
On remplit le sac, et l'on mesure combien de fois 18 y entre : 6 fois, exactement.
Dans le cadre : chaque part des trois quarts creuse sa place dans le sac ; on y verse ensuite les huitièmes, paquet par paquet, et l’on compte — six fois exactement.
Une division a deux lectures. Partition : « partager 12 entre 4 », chacun reçoit 3. Quotition (ou mesure) : « combien de fois 4 entre-t-il dans 12 ? », trois fois. Les deux donnent le même nombre, et l'école travaille surtout la première.
Or « partager 34 entre 18 personnes » ne veut rien dire. La partition ne survit pas aux fractions. Il reste la quotition — et c'est celle-là, et elle seule, que l'outil met en scène :
- On verse 34 dans un sac : six huitièmes y entrent, puisque l'entier est découpé en 8.
- On mesure combien de fois 18 y tient. On les compte : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Le quotient est 6. Pas six parts, pas six huitièmes : six fois. Le résultat d'une division de deux fractions peut être un entier, et l'élève voit pourquoi.
Et dans l'outil, le compte se fait en trente-deuxièmes. Le double découpage coupe l'entier en quatre colonnes et huit lignes : trois quarts y valent 24 cases, un huitième en vaut 4, et la mesure s'écrit 24/32 ÷ 4/32. Le nombre de cases change, le quotient non — six fois reste six fois. C'est la même remarque qu'à l'addition, et elle vaut d'être faite devant la classe : la figure fournit une unité commune qui marche toujours, pas la plus économique. Qu'un quotient ne change pas quand on affine l'unité n'a rien d'évident ; c'est même ce qui distingue une mesure d'un comptage.
Et la règle de l'inverse se déduit, au lieu de tomber du ciel : demander combien de fois 18 entre dans 34, c'est demander combien il y a de huitièmes dans 34 — autrement dit multiplier 34 par 8. Diviser par 18, c'est multiplier par 8. La forme générale suit sans mystère : diviser par 18, c'est multiplier par 81.
Le quotient change de nature sous les yeux de l'élève : 6 n'est pas une part de l'entier, c'est un comptage de gestes. Reconnaître qu'un résultat de division n'a pas la même unité que ses termes est la difficulté centrale de la division par une fraction, et aucune écriture ne la signale.
La règle « multiplier par l'inverse » reste la technique, et elle doit le rester : c'est elle qu'on utilisera en algèbre. Mais elle devient la trace écrite d'un comptage effectué, donc réinventable. Un élève qui a mesuré six fois un huitième ne confond plus l'inverse avec l'opposé.
La conversion décisive est celle de la LANGUE vers l'écriture : « combien de fois un huitième entre-t-il dans trois quarts » donne 3/4 ÷ 1/8, et non l'inverse. Le sac tranche l'ordre des termes, que le symbole ÷ ne dit pas — on remplit, puis on mesure, et la chose remplie est bien le dividende.
C'est l'opération où la coordination fait le plus de travail, parce qu'elle doit INVALIDER une connaissance antérieure solide. Voir un quotient plus grand que son dividende, dans un registre où l'on ne peut pas tricher, est ce qui met en défaut le modèle « diviser diminue » — un énoncé magistral n'y parvient pas.
Le bénéfice, énoncé sans complaisance
Quatre déplacements se dégagent, et ils ne sont pas de même poids.
1. Le dénominateur commun devient une conséquence, pas une consigne
C'est le bénéfice principal, et il porte exactement là où la recherche situe la difficulté. L'élève ne cherche pas un dénominateur commun : il coupe l'entier deux fois, et le dénominateur commun est ce qu'il obtient. La règle n'est pas donnée, elle est constatée, puis nommée — et elle devient réinventable par celui qui l'oublie.
2. Deux modèles implicites sont mis en défaut par le milieu, non par l'adulte
« Multiplier agrandit » et « diviser diminue » ne se corrigent pas par une phrase. Ici, le produit de deux fractions occupe visiblement moins de place que chacun des facteurs, et le quotient compte plus de fois que l'entier n'a de parts. L'élève ne rencontre pas la désapprobation d'un adulte ; il rencontre une contrainte du milieu, et c'est elle qui enseigne.
3. L'équivalence devient une lecture, au lieu d'un calcul à croire
23 = 812 est, chez Duval, un traitement : une transformation interne au registre écrit. C'est le plus coûteux de tous, parce que rien dans l'écriture ne garantit que le nombre n'a pas changé. La figure le garantit : ce sont les mêmes cases, comptées autrement. Le traitement reçoit sa validité d'un autre registre, puis s'exécute sans lui.
4. Le temps du savoir se sépare du temps du calcul
Découper, colorier, détacher prend du temps. Ce temps n'est pas pris sur l'apprentissage : il est pris sur l'entraînement, qui vient après et qui reste nécessaire. Un élève qui a compris le dénominateur commun ne s'exerce pas moins ; il s'exerce sur autre chose qu'une imitation.
Le dispositif privilégie une signification sur cinq. L'aire découpée sert admirablement la fraction part d'un tout, bien la fraction opérateur, et mal les significations quotient et rapport. Une classe qui n'aurait que cet outil formerait des élèves capables d'additionner des fractions sans savoir que 34 est aussi 3 divisé par 4. La droite numérique et les situations de partage restent indispensables — ailleurs.
Les nombres sont bornés, et c'est voulu. Au-delà d'une vingtaine de parts, les traits se touchent et le dessin ne montre plus rien ; l'outil s'en tient à deux fractions. Il sert à construire l'opération, non à l'exécuter : le confondre avec une calculatrice lente serait un contresens.
Le registre figural a lui-même un coût. Cases, colonnes, sac forment un système de signes qu'il faut apprendre. Un élève peut devenir habile à colorier sans convertir davantage — c'est l'écueil connu de tout matériel, et aucun outil n'en dispense. Une aire n'est pas un nombre ; elle le représente.
Rien ici ne constitue une preuve d'efficacité. Cette page est une analyse a priori, au sens didactique du terme : elle établit ce que le dispositif rend possible, pas ce qu'il produit. Mesurer le second exigerait un protocole — groupes comparés, tâches de conversion avant et après, erreurs classées — et ce travail reste à faire.
Le geste ne remplace pas la parole de l'enseignant. L'institutionnalisation — nommer, fixer, dire ce qui devient exigible — n'est pas dans l'outil et n'y sera jamais. Sans elle, la classe aura colorié sans avoir appris.
L'outil des exemples ci-dessus est ouvert à tous, sans compte :
Ouvrir l'outil FractionsLa même analyse pour les entiers naturels : quand la retenue cesse d'être un chiffre qui voyage
Et pour les entiers relatifs : quand le nombre n'a plus de collection derrière lui
Références
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Publié le 1er octobre 2026.