Les registres en exemples — du primaire au secondaire

Un élève qui sait calculer 0,25 × 8 et qui ne reconnaît pas qu'on lui demande « le quart de 8 » n'a pas un problème de calcul. Il a un problème de registres : il tient deux savoirs qui parlent du même nombre sans savoir qu'ils en parlent.

Cette page est un répertoire d'exemples. Elle suppose connue la thèse de Raymond Duval — exposée en détail sur la page Les registres de représentation sémiotique — et elle en fait ce qu'une théorie didactique doit devenir pour servir : des tâches précises, situées dans un niveau, avec l'indication de ce qui s'y joue.

Elle est organisée en deux temps. D'abord cinq registres décrits pour eux-mêmes : leurs unités signifiantes, leurs règles, ce qu'ils montrent et ce qu'ils cachent. Ensuite les quatre activités cognitives — reconnaissance, traitement, conversion, coordination —, chacune sur plusieurs tâches, du 1^er cycle du primaire à la 5^e secondaire.

Ce qui fait d'un système de signes un registre

Trois conditions, et les trois à la fois : on peut y former une représentation identifiable comme appartenant au système ; on peut l'y traiter, c'est-à-dire la transformer à l'intérieur du système selon ses règles, pour produire une information nouvelle ; on peut la convertir dans un autre système en parlant du même objet.

C'est pourquoi une photographie n'est pas un registre, et un plan en est un : sur le plan je calcule une longueur que je n'ai jamais mesurée, sur la photo je ne peux que regarder. Ce n'est pas la ressemblance qui fait le registre, c'est la règle.

01La carte

Deux axes, quatre familles

Duval classe les registres selon deux oppositions. Un registre est multifonctionnel quand ses traitements ne sont pas algorithmisables — la langue, la figure — et monofonctionnel quand ils le sont : l'écriture numérique, l'algèbre, le graphe cartésien. Il est discursif quand il énonce — une phrase, une équation — et non discursif quand il montre d'un coup : une figure, un graphique.

	Discursif — on énonce	Non discursif — on montre
Multifonctionnel traitements non algorithmisables	Langue naturelle : « le double de ce nombre, diminué de trois ». Description, déduction, argumentation.	Figures géométriques : la figure d'un triangle, un patron, un schéma. On y voit, et ce qu'on y voit n'est pas donné d'avance.
Monofonctionnel traitements algorithmisables	Écritures numériques et algébriques : 47, 0,25, 34, 2x − 3 = 7. On y calcule par règles.	Graphes cartésiens, tableaux, droite numérique. On y lit une relation d'un seul regard.

Cette carte n'est pas un classement de plus : elle prédit le coût. Passer d'un registre multifonctionnel à un monofonctionnel — de l'énoncé à l'équation — est l'une des conversions les plus coûteuses de toute la scolarité, et c'est exactement celle que la résolution de problèmes demande tous les jours.

02Registre 1 · Nombre entier

L'écriture positionnelle : un chiffre ne vaut rien sans sa place

Carte d'identité du registre

Unités signifiantes: Les dix chiffres, et leur position. La position est une unité à part entière, bien qu'elle ne s'écrive pas : c'est l'unité la plus difficile de tout le primaire.
Règles de formation: Un chiffre de rang k vaut sa valeur multipliée par 10^k ; dix unités d'un rang en font une du rang supérieur.
Traitements: Les quatre algorithmes posés, la comparaison, l'encadrement, l'arrondi, la décomposition.
Ce qu'il montre: La grandeur du nombre d'un seul regard (le nombre de chiffres), et une structure de groupements.
Ce qu'il cache: La quantité. Rien dans « 6 », dans 62, ne dit soixante. Et le zéro n'y est pas « rien » : c'est le signe qu'un rang est vide, donc un signe qui parle d'une absence.

1^er cycle du primaire langue →écriture chiffrée

Trente-deux, et quatre-vingt-douze

Écrire en chiffres : trente-deux, puis quatre-vingt-douze.

« trente-deux » se transpose mot à mot. « Quatre-vingt-douze » n'a aucune de ces correspondances : trois mots, deux chiffres, et un calcul caché.

Le premier mot se convertit presque mot à mot : trente donne le 3 du rang des dizaines, deux donne le 2 des unités. Deux unités de langue, deux unités d'écriture, dans le même ordre.

Le second n'a plus rien de tel. « Quatre-vingt-douze » contient quatre, vingt et douze — trois unités de langue, qui ne correspondent à aucun des deux chiffres de 92, et qui désignent un calcul (4 × 20 + 12). Un élève qui écrit 420 12 n'a pas mal entendu : il a converti mot à mot une expression qui ne s'y prête pas.

La difficulté n'est donc pas « le nombre 92 » mais la langue française elle-même, dont la numération orale est irrégulière entre 70 et 99. En Belgique, où l'on dit nonante-deux, cette difficulté n'existe pas.

2^e cycle du primaire écriture chiffrée →matériel groupé

Le zéro qui ne se voit pas

Représente 207 avec du matériel de numération, puis 27.

207 puis 27 : le 0 ne représente aucun objet — il tient la place vide pour que le 2 reste aux centaines.

Les deux écritures se ressemblent : trois signes contre deux, et les mêmes chiffres 2 et 7. Le matériel, lui, les sépare brutalement : deux plaques de cent et sept jetons d'un côté, deux barres de dix et sept jetons de l'autre.

Ce que l'élève doit reconnaître, c'est que le 0 de 207 ne représente aucun objet — il tient une place vide pour que le 2 reste au rang des centaines. Un signe qui ne correspond à rien dans l'autre registre : c'est le cas le plus clair de non-congruence du primaire, et il explique les écritures 2007 pour « deux cent sept ».

Secondaire 1-2 écriture décimale →notation scientifique

La notation scientifique

Écrire 32 000 et 0,000 32 en notation scientifique.

Un traitement, pas une conversion : on reste dans le registre numérique, mais l'ordre de grandeur devient une unité lisible.

3,2 × 10⁴ et 3,2 × 10⁻⁴ disent exactement les mêmes nombres, dans le même registre monofonctionnel — c'est donc un traitement, pas une conversion. Mais ce traitement change ce qu'on voit : l'ordre de grandeur devient une unité signifiante lisible (l'exposant), là où il fallait compter les zéros.

C'est l'exemple le plus net de ce que Duval appelle le gain de traitement : on ne change pas de nombre, on change ce que son écriture donne à voir. Et c'est pourquoi cette notation s'impose en sciences, où l'on compare des grandeurs qui n'ont pas le même ordre.

03Registre 2 · Nombre décimal

La virgule n'est pas une séparation : c'est une charnière

Carte d'identité du registre

Unités signifiantes: Les chiffres, leur position, et la virgule qui marque le rang des unités. Les zéros à droite sont signifiants en mesure (1,50 m) et neutres en nombre (1,5 = 1,50).
Règles de formation: Les mêmes qu'aux entiers, prolongées à droite : dix centièmes font un dixième.
Traitements: Comparer, ordonner, encadrer, intercaler, arrondir, calculer.
Ce qu'il montre: Un nombre qui se place entre deux entiers, et une précision de mesure.
Ce qu'il cache: La densité. Rien dans l'écriture ne dit qu'entre 0,7 et 0,8 il y a une infinité de nombres. Et l'écriture ressemble tant à celle des entiers qu'elle invite à leur appliquer les règles des entiers.

2^e–3^e cycle du primaire écriture décimale →droite numérique

0,7 et 0,65 — l'erreur la plus régulière du domaine

Range dans l'ordre croissant : 0,7 ; 0,65 ; 0,8.

La droite refuse l'ambiguïté : 0,65 est à GAUCHE de 0,7. Aucun adulte n'a eu à corriger.

Beaucoup d'élèves placent 0,65 avant 0,7 — c'est-à-dire déclarent 0,65 plus grand, parce que 65 > 7. Ils appliquent correctement une règle vraie chez les entiers : plus il y a de chiffres, plus c'est grand.

La droite numérique tranche, parce qu'elle refuse l'ambiguïté : un point est à gauche ou à droite d'un autre, il n'y a pas de troisième possibilité. C'est pourquoi la conversion écriture → droite n'est pas ici une illustration mais un instrument de preuve : elle invalide la règle fautive sans qu'un adulte ait à la corriger.

Remède durable : faire écrire 0,70 et 0,65 — même nombre de rangs, comparaison redevenue congruente —, puis demander pourquoi on a eu le droit d'ajouter ce zéro.

3^e cycle du primaire écriture décimale →mesure

1,5 mètre, 1,50 mètre, 150 centimètres

Trois élèves mesurent la même table et écrivent 1,5 m, 1,50 m, 150 cm. Qui a raison ?

Même longueur, trois écritures — et une information de précision que le registre numérique, lui, efface.

Les trois. Mais ils ne disent pas la même chose : 1,5 et 1,50 sont le même nombre et pas la même mesure — la seconde annonce une précision au centimètre. Le registre numérique efface une information que le registre de la mesure porte.

C'est un bon moment pour faire remarquer que le même signe ne signifie pas la même chose dans deux registres : en mathématiques le zéro final est neutre, en sciences expérimentales il est un chiffre significatif. Les élèves qui passent du cours de maths au cours de sciences traversent cette frontière sans qu'on la leur signale.

Secondaire 1 écriture décimale →écriture décimale

Intercaler, et découvrir la densité

Écris trois nombres compris entre 0,7 et 0,8. Puis trois autres entre 0,70 et 0,71.

Entre 0,70 et 0,71, la machine ne s'arrête jamais. Chez les entiers, « entre 7 et 8 » n'avait pas de réponse.

C'est un traitement — on reste dans le registre décimal — mais il produit une connaissance qui n'était pas dans l'écriture de départ : entre deux décimaux, il y en a toujours un autre, et la machine ne s'arrête jamais.

Chez les entiers, « entre 7 et 8 » n'a pas de réponse. L'élève doit donc abandonner la métaphore du suivant, qui l'a servi pendant six ans. C'est l'une des ruptures que la recherche nomme biais des nombres entiers, et elle ne se règle pas par une phrase : elle demande qu'on la fasse rencontrer.

04Registre 3 · Nombre fractionnaire

Deux chiffres de même allure, de statuts opposés

Carte d'identité du registre

Unités signifiantes: Le numérateur, le dénominateur, la barre. Le dénominateur ne compte rien : il nomme le découpage. Deux chiffres de même allure, de statuts opposés.
Règles de formation: Toute écriture 34 suppose une unité choisie. Changez l'unité, la quantité change ; l'écriture, elle, n'a pas bougé.
Traitements: L'équivalence d'abord — 23 = 812 —, puis la simplification, la comparaison, les quatre opérations.
Ce qu'il montre: Un rapport à une unité, et la possibilité d'un nombre exact là où le décimal n'en donne pas (13 contre 0,333…).
Ce qu'il cache: La grandeur : 78 et 89 ne se comparent pas à vue. Et l'écriture ne dit pas laquelle des cinq significations est en jeu.

Les travaux de Kieren, puis de Behr, Lesh, Post et Silver, ont établi que 34 fonctionne tour à tour comme part d'un tout (trois parts sur quatre), mesure (un point entre 0 et 1), quotient (3 partagé entre 4), rapport (3 pour 4) et opérateur (prendre les trois quarts de). Ce ne sont pas cinq façons de dire la même chose : ce sont cinq réseaux de registres différents.

2^e cycle du primaire écriture fractionnaire →cinq situations

La même écriture, cinq tâches différentes

Pour chacune, écris la fraction : (a) trois parts coloriées sur quatre ; (b) le point situé aux trois quarts du segment [0 ; 1] ; (c) trois pizzas partagées entre quatre enfants ; (d) trois filles pour quatre garçons ; (e) les trois quarts de 20.

Les cinq ne sont pas cinq façons de dire la même chose : trois parts coloriées, un point sur une droite, trois galettes pour quatre enfants, trois jetons pour quatre, et une machine qui transforme 20 en 15.

Les cinq réponses s'écrivent 34 ou en dépendent, et les cinq tâches n'ont presque rien en commun. (c) est la seule où la fraction est le résultat d'une division ; (d) est la seule où elle ne désigne aucune quantité, mais une relation entre deux ; (e) est la seule où elle agit comme une fonction.

Un élève qui n'a rencontré que (a) — le cas scolaire dominant — a appris une fraction qui ne sert pas à diviser. C'est exactement ce qu'on constate en 1^re secondaire devant 34 = 3 ÷ 4.

3^e cycle du primaire écriture fractionnaire →écriture fractionnaire

Même nombre, écritures infinies

Écris cinq fractions égales à 23. Comment être sûr qu'elles sont égales ?

2/3 et 8/12 : ce sont LES MÊMES CASES, comptées autrement. La figure garantit ce que l'écriture ne garantit pas.

C'est un traitement interne, et c'est le plus coûteux du registre : rien, dans l'écriture, ne garantit que le nombre n'a pas changé quand on passe de 23 à 812. Chez les entiers, deux écritures différentes sont deux nombres différents ; ici, un objet a une infinité de noms.

La figure fournit la garantie que l'écriture ne donne pas : ce sont les mêmes cases, comptées autrement. C'est une conversion mise au service d'un traitement — la coordination à l'état pur.

Secondaire 1-2 écriture fractionnaire →droite numérique

Pourquoi « plus grand dénominateur » ne veut rien dire

Range : 34, 56, 79.

Visible sur la droite, calculable dans l'écriture — et ni l'un ni l'autre ne suffit seul.

Aucune comparaison directe n'est possible dans le registre écrit sans traitement préalable — il faut un dénominateur commun, ou la conversion en décimaux. L'élève qui répond « 79 est la plus grande parce que 9 est le plus grand » applique encore la règle des entiers.

La droite numérique rend la réponse visible mais pas calculable, et l'écriture la rend calculable mais pas visible. Ni l'un ni l'autre ne suffit : c'est le va-et-vient entre les deux qui construit le nombre rationnel. L'analyse complète des quatre opérations est sur la page qui leur est consacrée.

05Registre 4 · Figural géométrique

Une figure n'est pas un dessin : elle se regarde autrement

Carte d'identité du registre

Unités signifiantes: Points, segments, angles, et surtout les sous-figures qu'on peut y découper. Une figure de n traits contient bien plus de n objets à voir.
Règles de formation: Les propriétés énoncées, pas l'apparence : un carré reste un carré s'il est « penché », et deux segments d'égale longueur sur le papier ne sont pas égaux tant qu'on ne l'a pas établi.
Traitements: Reconfigurer (découper et recomposer), ajouter un trait de construction, déconstruire la figure en objets de dimension inférieure.
Ce qu'il montre: Tout à la fois, d'un seul regard — c'est sa force, et c'est son piège.
Ce qu'il cache: Ce qu'il faut voir. La figure ne dit pas quelle décomposition sert la démonstration : voir n'est pas reconnaître.

Duval distingue trois façons de regarder une figure. L'appréhension perceptive est immédiate et souvent trompeuse : elle livre la forme globale. L'appréhension discursive lie la figure à ce qui est dit d'elle — le codage, l'énoncé. L'appréhension opératoire est celle qui démontre : elle modifie la figure, la découpe, lui ajoute un trait. C'est la seule qui fasse avancer un raisonnement, et c'est la moins enseignée.

1^er–2^e cycle du primaire figure →langue / propriétés

Le carré penché n'est plus un carré

Parmi ces quadrilatères, lesquels sont des carrés ? L'un d'eux est dessiné à 45°, pointe vers le haut.

② est le même carré que ①, posé sur une pointe — il n’a pas cessé d’en être un. ③ a bien quatre côtés égaux et n’est pas un carré : c’est lui qui fait la tâche, car sans lui la forme globale suffirait à répondre.

Une proportion importante d'élèves refuse le carré incliné et l'appelle « losange ». Leur appréhension perceptive a raison — la forme globale a changé — et leur appréhension discursive n'a pas pris le relais : quatre côtés égaux, quatre angles droits, cela n'a pas bougé.

Le défaut n'est pas visuel, il est sémiotique : l'élève traite le dessin comme une image de chose, pas comme la représentation d'un objet défini par des propriétés. Un remède qui marche : faire tourner la feuille, et demander à quel moment exactement le carré a cessé d'en être un.

3^e cycle / Secondaire 1 figure →figure (reconfigurée)

Voir le rectangle dans le parallélogramme

Trouve l'aire d'un parallélogramme de base 8 cm et de hauteur 5 cm, sans formule.

On coupe le triangle d'un bout et on le porte à l'autre : l'aire ne bouge pas, et c'est la HAUTEUR qui entre dans la formule, non le côté oblique.

Il faut couper le triangle d'un bout et le déplacer à l'autre — un traitement dans le registre figural, qui transforme la figure sans changer son aire. L'élève qui ne « voit » pas ce triangle ne manque pas de connaissances : il manque d'appréhension opératoire.

Ce geste est exactement ce que la formule b × h escamote. Une classe qui l'a fait une fois comprend pourquoi la hauteur, et non le côté oblique, entre dans la formule — question à laquelle la plupart des élèves de secondaire ne savent pas répondre.

Secondaire 2-3 figure →démonstration (langue)

Le trait qu'il fallait ajouter

Dans un triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. Montre que (MN) est parallèle à (BC).

Le segment [MN] n'était pas dans la figure : il a fallu l'ajouter. Cet ajout ne se déduit d'aucune règle — il se décide.

La figure contient la réponse, mais ne la montre pas : il faut ajouter quelque chose — prolonger MN, ou tracer la parallèle, ou faire apparaître le triangle AMN comme réduction du triangle ABC. Cet ajout ne se déduit d'aucune règle : c'est une opération sur la figure, décidée par celui qui démontre.

C'est pourquoi la démonstration géométrique résiste tant. Elle exige une coordination à trois registres — la figure modifiée, l'énoncé des hypothèses, le texte déductif — et les trois ne disent jamais la même chose au même moment.

06Registre 5 · Algébrique

Quand la lettre cesse d'être une abréviation

Carte d'identité du registre

Unités signifiantes: La lettre, le coefficient, l'opérateur, les parenthèses, et le signe =, dont le statut change selon le contexte : résultat (3 + 4 = 7), identité (toujours vrai), ou condition (vrai pour certaines valeurs).
Règles de formation: Les règles de l'écriture littérale : 2x signifie 2 × x, le − porte sur tout ce qui suit la parenthèse, l'ordre des facteurs est libre et celui des termes d'une soustraction ne l'est pas.
Traitements: Développer, factoriser, réduire, résoudre, isoler. Ce sont les traitements les plus algorithmiques de toute la scolarité.
Ce qu'il montre: La structure : 2n + 1 dit « impair » pour tout n, ce qu'aucune liste d'exemples ne dira jamais.
Ce qu'il cache: Le sens : rien dans 2x − 3 ne dit de quoi on parle. Et rien ne distingue à vue l'inconnue (une valeur cherchée) de la variable (une valeur qui parcourt).

Secondaire 1 arithmétique →algèbre

Le signe = cesse d'annoncer un résultat

Vrai ou faux : 8 + 4 = 7 + 5 ? Puis : complète 8 + 4 = □ + 5.

Deux plateaux qui se valent — et non une consigne de calcul orientée de gauche à droite.

Au primaire, le signe = s'est lu pendant six ans comme « donne » : une consigne de calcul, orientée de gauche à droite. Beaucoup d'élèves écrivent donc 12 dans la case, puis 17 — ils enchaînent les résultats.

Pour entrer en algèbre, = doit devenir le signe d'une équivalence symétrique entre deux expressions. Ce n'est pas un détail de vocabulaire : sans ce changement, « faire la même chose des deux côtés » n'a aucun sens, et la résolution d'équation reste une recette.

Secondaire 2 algèbre →algèbre

Le moins qui porte sur tout

Réduis : 5x − (2x − 7).

La parenthèse est une unité SILENCIEUSE : elle ne se prononce pas, et elle gouverne les deux signes qui suivent.

L'erreur 5x − 2x − 7 est régulière, et elle est d'origine sémiotique : la parenthèse est une unité signifiante silencieuse — elle ne se prononce pas, elle n'a pas d'équivalent dans la langue, et elle gouverne pourtant tout le signe qui la précède.

Un détour qui règle souvent l'affaire : lire l'expression en langue — « 5x moins l'ensemble de ce qui est dans la parenthèse » — puis vérifier numériquement pour x = 1. Deux registres qui se contredisent valent mieux qu'une règle de plus à retenir.

Secondaire 3 langue →algèbre

Ce que la lettre permet et que l'exemple interdit

Montre que la somme de deux nombres entiers consécutifs est toujours impaire.

On apparie, et il en reste UN. L'imparité n'est plus une règle à croire : c'est le jeton qui dépasse, et il dépassera toujours.

Une classe propose d'abord 3 + 4 = 7, 10 + 11 = 21, et conclut. Le registre numérique ne peut rien de plus : il ne dit jamais « toujours ».

En algèbre, n + (n + 1) = 2n + 1, et la forme 2n + 1 montre l'imparité d'un seul regard. Le gain n'est pas un gain de calcul : c'est un changement de ce qu'on peut affirmer. C'est très exactement ce que Duval appelle le gain d'un registre monofonctionnel — et c'est l'argument le plus honnête à donner à un élève qui demande à quoi sert l'algèbre.

07Activité 1 · Reconnaissance

Identifier l'objet, et les unités qui le représentent

Reconnaître, ce n'est ni calculer ni traduire : c'est identifier dans une représentation ce dont elle parle, et distinguer ce qui, dans ses signes, porte du sens. Une difficulté de reconnaissance ne se voit pas dans les réponses fausses : elle se voit dans les réponses justes obtenues au hasard.

1^er cycle du primaire écriture chiffrée

Le 6 qui vaut soixante

Dans 62, montre-moi le chiffre qui vaut le plus. Combien vaut-il ?

Six barres et deux jetons. Rien, dans le signe « 6 », ne portait cette valeur : c'est sa place qui la porte.

Rien dans le signe « 6 » ne porte sa valeur : c'est sa place qui la porte. Reconnaître la position comme une unité signifiante est l'acte fondateur de la numération, et il reste invisible : un élève qui répond « 6 » n'est pas distrait, il n'a pas encore cette unité.

Indice d'une reconnaissance acquise : l'élève peut dire ce que deviendrait le nombre si l'on échangeait les deux chiffres, sans le recalculer.

3^e cycle du primaire quatre registres

0,5 · 12 · 50 % · la moitié

Quatre cartes sont posées : 0,5, 12, 50 %, la moitié. Parlent-elles du même nombre ? Montre-le.

Quatre dessins, un seul nombre — et quatre moments différents de l'année scolaire. C'est l'enseignement séquentiel qui sépare ce que l'élève doit réunir.

La tâche ne demande aucun calcul : elle demande de reconnaître un seul objet sous quatre habits. C'est précisément ce que l'enseignement séquentiel — les décimaux en octobre, les fractions en janvier, les pourcentages en avril — rend difficile : chaque registre a été appris à part.

Variante qui révèle beaucoup : ajouter une cinquième carte, 0,50, et demander si elle dit encore la même chose. Les élèves qui hésitent n'ont pas un problème de décimaux ; ils n'ont pas encore reconnu le nombre derrière les écritures.

Secondaire 2-3 algèbre

Reconnaître une forme sous une autre

Sans développer, dis ce que x² + 6x + 9 a de particulier.

La forme se VOIT : un carré de côté x + 3 se découpe en x², deux rectangles de 3x, et 9. Le lien entre le 6 et le 9 — 6 est deux fois la racine de 9 — devient une longueur.

Reconnaître (x + 3)² dans x² + 6x + 9 n'est pas un traitement : c'est l'identification d'une forme. Elle repose sur une unité que rien ne souligne — le lien entre le 6 et le 9, à savoir que 6 est deux fois la racine de 9.

Un élève qui factorise par essais obtient la même réponse sans avoir reconnu quoi que ce soit. La différence se verra plus tard : devant x² + 6x + 10, lui essaiera encore, alors que celui qui a reconnu la forme verra immédiatement un carré parfait augmenté de 1.

Secondaire 4-5 table, graphe, formule

La même fonction en trois endroits

Voici une table de valeurs, un graphique et l'expression f(x) = 2x − 3. Décris-les sans calculer et dis s'ils parlent du même objet.

Le « 2 » est à la fois l'accroissement d'une colonne du tableau, l'inclinaison de la droite et un coefficient. Trois unités pour une.

Chaque registre porte des unités différentes : dans la table, des couples ; dans le graphe, une inclinaison et un point de passage ; dans la formule, un coefficient et une constante. Reconnaître que « 2 » est à la fois l'accroissement d'une colonne, la pente d'une droite et un coefficient, c'est tenir trois unités pour une.

C'est la reconnaissance qui prépare la coordination. Tant qu'elle n'est pas faite, l'élève a trois chapitres ; une fois faite, il a une fonction.

08Activité 2 · Traitement

Transformer sans changer de registre — et sans changer d'objet

Un traitement est une transformation interne au registre, conduite par ses règles, qui produit une information nouvelle sur le même objet. C'est l'activité que l'école enseigne le plus : souvent la seule. D'où une conséquence qu'il faut dire franchement : un élève peut être excellent en traitement et ne rien comprendre, parce que la compréhension ne se joue pas là.

2^e cycle du primaire écriture chiffrée

La retenue, règle correcte sans raison visible

Pose et calcule : 47 + 38.

47 + 38 : huit barres et cinq jetons, APRÈS qu'une boîte de dix s'est refermée. Cette boîte, c'est la retenue — et elle n'apparaît pas dans l'écriture.

Le traitement se déroule entièrement dans le registre écrit : on additionne les unités, on écrit 5, on porte 1. Sa justification — dix unités valent une dizaine — n'apparaît nulle part dans ce registre. L'élève apprend donc un geste dont la raison vit ailleurs.

C'est le cas d'école du traitement réussi sans conversion : il tient tant que la mémoire tient, et il ne se répare pas tout seul. L'analyse complète des quatre opérations part de là.

Secondaire 1 écriture fractionnaire

Simplifier, c'est garder le même nombre

Simplifie 1824.

18 cases sur 24, ou 3 colonnes sur 4 : le dessin n'a pas changé, seule la façon de compter a changé.

Le traitement est algorithmique — diviser les deux termes par 6 — mais ce qu'il préserve n'est pas visible dans l'écriture : rien ne garantit, à l'œil, que 34 soit le même nombre que 1824.

Les élèves qui simplifient mécaniquement le font souvent aussi dans 1824 + 1, ou pire à travers une somme. La règle a été apprise comme une manipulation de signes, pas comme une transformation qui conserve l'objet : c'est exactement ce que le mot « traitement » veut dire, et ce qu'il faut rendre explicite.

Secondaire 2-3 algèbre

Trois écritures, trois informations

De x² − 5x + 6, obtiens la forme factorisée, puis la forme canonique.

Une seule courbe, trois informations : les zéros que donne la forme factorisée, le sommet que donne la forme canonique, l'ordonnée à l'origine que donne la forme développée.

Trois écritures du même polynôme, dans le même registre : (x − 2)(x − 3), et (x − 2,5)² − 0,25. Aucune n'est « plus juste », et chacune montre ce que les autres cachent — les zéros pour la factorisée, le sommet pour la canonique, l'ordonnée à l'origine pour la développée.

C'est le gain de traitement au sens strict : on ne change ni de nombre ni de registre, on change ce que l'écriture donne à voir. Dire à l'élève pourquoi on change de forme — et non seulement comment — transforme un exercice en méthode.

Secondaire 4-5 algèbre

Résoudre, c'est enchaîner des équivalences

Résous : 3(x − 2) = 4x + 1.

Chaque ligne de la résolution est une balance qui reste en équilibre. Ce qui est conservé, c'est l'ensemble des solutions.

Chaque ligne de la résolution est une équation équivalente à la précédente : même ensemble de solutions, écriture différente. L'élève qui écrit les lignes sans ce statut produit une suite de formules sans lien logique, et ne peut pas détecter l'erreur qui change l'ensemble des solutions (multiplier par x, par exemple).

Indice d'un traitement compris : l'élève sait dire, à chaque ligne, ce qui a été conservé. Indice d'un traitement subi : il sait seulement dire ce qu'il a fait passer de l'autre côté.

09Activité 3 · Conversion

Changer de registre en parlant du même objet

C'est l'activité la plus coûteuse, et la moins enseignée pour elle-même. Duval l'établit sur des données d'enquête : les taux de réussite chutent dès qu'une tâche exige un changement de registre, même quand les traitements requis sont maîtrisés. Et le coût n'est pas le même dans les deux sens.

Les trois critères de congruence

Une conversion est dite congruente quand la représentation de départ se transpose presque terme à terme dans celle d'arrivée. Duval en donne trois critères, et il suffit qu'un seul tombe pour que la difficulté apparaisse :

Correspondance sémantique des unités signifiantes : à chaque unité de départ correspond une unité d'arrivée.
Univocité sémantique terminale : à une unité de départ ne correspond qu'une seule unité d'arrivée — pas deux lectures possibles.
Même ordre d'organisation : les unités se présentent dans le même ordre de part et d'autre.

Une conversion congruente se fait presque sans enseignement : elle a l'air facile, et elle l'est. Une conversion non congruente ne s'acquiert pas en voyant le résultat — elle s'acquiert en la faisant, et en nommant ce qui s'y retourne.

2^e cycle du primaire langue →écriture arithmétique

« De plus » qui demande une soustraction

Léa a 3 billes de plus que Samir. Léa en a 8. Combien Samir en a-t-il ?

Le schéma montre la RELATION, que l'énoncé dit dans un ordre et l'opération dans l'autre. C'est lui qui rend la soustraction évidente.

Le mot plus appelle l'addition : beaucoup d'élèves écrivent 8 + 3 = 11. L'énoncé contient pourtant toute l'information ; ce qui manque, c'est la correspondance entre l'ordre des mots et l'ordre de l'opération.

Conversion non congruente

Correspondance des unités signifiantes — « 3 », « 8 » et « de plus » ont bien chacun un correspondant.
Univocité sémantique terminale — Elle tombe : « de plus » ne désigne pas l'opération à faire, mais la relation entre les deux quantités.
Même ordre d'organisation — Il tombe : la question porte sur le premier nommé, et l'opération part du second.

Deux critères sur trois tombent. C'est pourquoi ce problème, arithmétiquement trivial, résiste jusqu'au secondaire : la difficulté n'est pas dans le calcul, elle est dans la conversion.

3^e cycle du primaire langue →écriture arithmétique

Deux énoncés, un seul calcul

(a) « J'ai 12 bonbons, j'en donne 5. Combien m'en reste-t-il ? » — (b) « J'avais des bonbons, j'en ai donné 5, il m'en reste 7. Combien en avais-je ? »

Même schéma pour les deux problèmes. Ce qui change, c'est QUELLE barre est inconnue — et le second cas demande de remonter le temps.

Les deux problèmes mettent en jeu 12, 5 et 7, et la même relation. Le premier se convertit dans l'ordre du récit : 12 − 5. Le second exige de remonter le temps — l'opération à écrire (7 + 5) va à l'inverse de l'action racontée (donner).

Les taux de réussite diffèrent typiquement de trente points entre (a) et (b) dans les mêmes classes. Même arithmétique, même vocabulaire : seule la congruence a changé.

Secondaire 1-2 langue →algèbre

Deux phrases pour la même expression

Écris en langage algébrique : (a) « le double de x, diminué de 3 » ; (b) « 3 de moins que le double de x ».

Les flèches se croisent : l'ordre des mots n'est pas celui de l'écriture. C'est le troisième critère de Duval, rendu visible.

Les deux donnent 2x − 3. Mais (a) se lit dans l'ordre d'écriture — double, puis diminué de 3 — tandis que (b) nomme d'abord ce qu'on retire. L'élève qui écrit 3 − 2x pour (b) n'a pas mal compris la soustraction : il a respecté l'ordre des mots.

Conversion non congruente

Correspondance des unités signifiantes — Oui pour les deux : « double » → ×2, « 3 » → 3, « de moins » → −.
Univocité sémantique terminale — Oui : aucune des unités n'a deux lectures.
Même ordre d'organisation — Oui pour (a), non pour (b) — et c'est le seul critère qui les sépare.

Un seul critère tombe, et il suffit. On tient là une variable didactique immédiatement utilisable : donner les deux formulations côte à côte et faire chercher pourquoi elles aboutissent au même endroit.

Secondaire 3 langue →algèbre

Le piège étudiants-professeurs

Dans cette université, il y a six fois plus d'étudiants que de professeurs. Écris la relation entre E et P.

Un tableau de valeurs invalide 6E = P en une ligne : un professeur, six étudiants. Le contrôle vient d'un TROISIÈME registre.

La réponse majoritaire — y compris chez des étudiants d'ingénierie dans l'étude devenue classique de Clement (1982) — est 6E = P. L'ordre des mots (« six », « étudiants », « professeurs ») se transpose directement en « 6 E = P », et le résultat dit le contraire de l'énoncé.

Ici l'erreur ne vient pas d'une lacune algébrique : elle vient d'une conversion où l'ordre et la fonction des unités se retournent. Le remède n'est pas une règle, c'est un contrôle dans un troisième registre : un tableau de valeurs (1 professeur → 6 étudiants) invalide 6E = P en une ligne.

Secondaire 4 graphe cartésien →algèbre

Du graphe à l'équation, et retour

Une droite coupe l'axe des ordonnées en 2 et passe par le point (3 ; 8). Donne son équation. Puis l'inverse : trace la droite d'équation y = −x + 5.

Une unité se lit, l'autre se construit. C'est pourquoi un élève qui réussit tous les tracés peut échouer toutes les lectures.

Les deux sens n'ont pas le même coût, et c'est le point que Duval a montré le premier. Formule → graphe est presque congruent : deux points suffisent, la procédure est réglée. Graphe → formule ne l'est pas : l'ordonnée à l'origine se lit, mais la pente se calcule à partir de deux points — une unité se lit, l'autre se construit.

Conséquence pratique : un élève qui réussit tous les tracés peut échouer toutes les lectures. Les entraîner séparément n'est pas une redondance, c'est une nécessité.

Conversion non congruente

Correspondance des unités signifiantes — Incomplète : l'ordonnée à l'origine a un correspondant visible, la pente n'en a pas.
Univocité sémantique terminale — Elle tombe dans le sens graphe → formule : une même inclinaison apparente change avec l'échelle des axes.
Même ordre d'organisation — Sans objet : le graphe n'a pas d'ordre de lecture imposé.

La non-congruence est orientée : la même paire de registres est congruente dans un sens et pas dans l'autre. C'est la raison pour laquelle « il sait faire » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas précisé dans quel sens.

Secondaire 5 figure / graphe →écriture symbolique

Une aire qui devient une intégrale

Écris, sous forme d'intégrale, l'aire de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses, x = 1 et x = 4.

Les deux bornes changent de statut : de traits verticaux, elles deviennent des nombres portés par le signe d'intégration.

Quatre unités de la figure — la courbe, l'axe, les deux bornes — doivent devenir quatre unités symboliques, dont deux (les bornes) changent de statut : de traits verticaux, elles deviennent des nombres portés par le signe d'intégration.

La conversion est partiellement congruente, ce qui la rend trompeuse : elle marche tant que la courbe reste au-dessus de l'axe. Dès qu'elle passe dessous, l'aire et l'intégrale cessent de coïncider, et l'élève qui n'a converti que des cas congruents n'a aucune raison de s'en apercevoir.

10Activité 4 · Coordination

Tenir ensemble ce que chaque registre montre seul

La coordination est le critère de la compréhension : non pas réussir dans un registre, mais reconnaître le même objet dans plusieurs et savoir lequel choisir pour la question posée. Duval distingue la coordination inter-registres — deux registres mis en rapport — de la coordination multi-registres, qui en met en jeu trois ou plus et qui est la forme ordinaire du travail mathématique avancé.

3^e cycle du primaire quatre registres

Le quart, de quatre façons

Montre que ces quatre énoncés parlent de la même chose : « 14 de 20 » ; « 20 ÷ 4 » ; « 0,25 × 20 » ; « 25 % de 20 ».

Quatre chemins, et le même cinq au bout. Le signe qui ne trompe pas : savoir lequel on choisirait pour le quart de 36.

Chacun est facile pris seul ; c'est leur mise en rapport qui est la tâche. Elle est inter-registres deux à deux, et elle demande six rapprochements, pas quatre calculs.

Un élève qui obtient 5 quatre fois sans voir que c'est le même geste n'a pas coordonné : il a calculé quatre fois. Le signe qui ne trompe pas : il sait dire laquelle des quatre écritures il choisirait pour calculer de tête le quart de 36 — et pourquoi.

Secondaire 2 tableau, graphe, rapport, langue

La proportionnalité, vue de quatre côtés

Une recette demande 150 g de farine pour 4 crêpes. Combien pour 10 ? Réponds de deux façons différentes, puis dis laquelle tu aurais choisie pour 400 crêpes.

Le rapport se lit dans les longueurs : deux fois et demie plus de crêpes, deux fois et demie plus de farine.

Le tableau invite au coefficient, le graphe à la droite passant par l'origine, le rapport à la règle de trois, la langue au raisonnement par unité. Les quatre donnent 375 g.

La question qui fait la coordination est la dernière : choisir. Un élève coordonné sait que la méthode « par unité » devient coûteuse pour 400 et que le coefficient ne l'est pas. Tant qu'il n'a qu'une méthode, il n'a pas de choix à faire — et l'on ne peut pas voir s'il a compris.

Secondaire 4 langue, table, graphe, formule

La fonction affine, à quatre registres

Un forfait coûte 20 $ par mois plus 0,10 $ par minute. Donne la table pour 0, 50, 100 minutes ; le graphe ; la formule ; puis réponds : à partir de combien de minutes la facture dépasse-t-elle 35 $ ?

De vraies unités : des minutes en abscisse, des dollars en ordonnée. La droite ne part pas de zéro — c'est ce qui sépare une situation affine d'une proportionnalité, et la facture dépasse 35 $ vers 150 minutes.

C'est une coordination multi-registres complète : quatre représentations d'un même objet, et une question dont la réponse est plus commode dans l'un d'eux. Le graphe la donne par lecture, la formule par résolution, la table par encadrement.

L'enseignement ordinaire produit souvent quatre compétences séparées. Le test de coordination tient en une consigne : résous dans le registre que tu veux, puis vérifie dans un autre. Un élève qui ne peut pas vérifier ailleurs n'a pas encore un objet, il a une procédure.

Secondaire 5 symbolique, graphe, physique

Dérivée : un nombre, une pente, un taux

f(x) = x² − 4x. Calcule f′(2), interprète le résultat sur le graphe, puis dans le contexte d'un mobile dont la position est f(t).

Le même nombre — zéro — est un résultat de calcul, l'inclinaison nulle de la tangente, et l'instant où le mobile s'arrête.

Le même objet — le nombre 0 — est successivement un résultat de calcul, l'inclinaison nulle de la tangente au sommet, et l'instant où le mobile s'arrête avant de repartir. Trois registres, trois statuts, un seul objet.

C'est ici que l'absence de coordination coûte le plus cher : un étudiant qui dérive parfaitement sans savoir ce que la dérivée montre ne peut ni modéliser, ni vérifier son résultat, ni repérer une erreur de signe. Le calcul lui reste ; le sens ne lui est jamais venu.

Trois consignes qui font travailler la coordination

« Résous où tu veux, vérifie ailleurs. » La vérification dans un second registre est le seul contrôle qui ne demande pas de refaire le même calcul — donc le seul qui détecte une erreur de méthode.

« Donne la même information dans un registre qui ne la montre pas. » Par exemple : lire le sommet d'une parabole dans la forme développée. L'élève doit alors convertir pour voir.

« Choisis, et dis pourquoi. » Le choix du registre est la trace la plus fiable d'une compréhension : il suppose qu'on sache d'avance ce que chacun montre.

11Pour préparer une tâche

Cinq questions avant de donner un exercice

La grille ci-dessous ne juge pas une tâche : elle en dit la nature, et donc ce qu'elle entraîne. Deux exercices qui se ressemblent peuvent y occuper des lignes opposées.

Question	Ce qu'on cherche	Ce que la réponse change
1. Registre de départ ?	Dans quel système l'énoncé est-il donné : langue, figure, écriture, graphe, tableau.	Si c'est la langue, attendez-vous à des difficultés de conversion avant toute difficulté de calcul.
2. Registre d'arrivée ?	Dans quel système la réponse est-elle attendue.	Départ = arrivée : c'est un traitement. Départ ≠ arrivée : c'est une conversion, et le coût n'a rien à voir.
3. La conversion est-elle congruente ?	Les trois critères : correspondance, univocité, ordre.	Une tâche congruente entraîne peu. Une tâche non congruente doit être enseignée, pas seulement donnée.
4. Dans quel sens ?	Avez-vous travaillé l'autre sens de la même conversion ?	La réussite dans un sens ne prédit pas l'autre. L'omission la plus fréquente : tracer sans jamais lire.
5. Quel registre la réponse contrôle-t-elle ?	L'élève peut-il vérifier ailleurs que là où il a calculé ?	Sans second registre, la seule vérification possible est de refaire le calcul — ce qui ne détecte que les erreurs d'inattention.

Trois précautions, dites franchement

Les registres ne sont pas des « styles d'apprentissage ». Il ne s'agit pas d'offrir à chacun le registre qui lui convient : il s'agit d'enseigner le passage entre eux, qui est la difficulté commune à tous.

Multiplier les représentations ne suffit pas. Quatre registres posés côte à côte sans tâche de conversion produisent quatre apprentissages séparés. C'est le travail entre les registres qui enseigne, pas leur nombre.

Cette page est un cadre d'analyse, pas un résultat d'expérimentation. Elle dit ce que chaque tâche met en jeu ; mesurer ce qu'elle produit dans une classe demanderait un protocole — tâches de conversion avant et après, erreurs classées, groupes comparés.

Les outils dont parlent ces exemples sont ouverts à tous, sans compte :

Entier naturel Fractions

La théorie elle-même : les registres de représentation sémiotique — cours de deux heures

Les quatre opérations sur les entiers naturels, lues avec Duval

Les quatre opérations sur les fractions, avec les animations de l'outil

Les entiers relatifs : quand le nombre n'a plus de collection derrière lui

12Pour aller à la source

Références

Duval, R. (1988). « Graphiques et équations : l'articulation de deux registres ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 1, 235-253.
Duval, R. (1993). « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 5, 37-65.
Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang.
Duval, R. (2005). « Les conditions cognitives de l'apprentissage de la géométrie : développement de la visualisation, différenciation des raisonnements… ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 10, 5-53.
Duval, R. (2006). « A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics ». Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.
Clement, J. (1982). « Algebra word problem solutions : thought processes underlying a common misconception ». Journal for Research in Mathematics Education, 13(1), 16-30.
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Behr, M., Lesh, R., Post, T. et Silver, E. (1983). « Rational number concepts ». Dans R. Lesh et M. Landau (dir.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. Academic Press.
Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S. et Marino, M. S. (1985). « The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division ». Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3-17.
Ni, Y. et Zhou, Y.-D. (2005). « Teaching and learning fraction and rational numbers : the origins and implications of whole number bias ». Educational Psychologist, 40(1), 27-52.
Vergnaud, G. (1990). « La théorie des champs conceptuels ». Recherches en didactique des mathématiques, 10(2-3), 133-170.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. La Pensée sauvage.
Ministère de l'Éducation du Québec. Programme de formation de l'école québécoise et Progression des apprentissages — primaire et secondaire, mathématique.

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