Les entiers relatifs dans les registres sémiotiques
Ce que change un nombre négatif qu'on peut prendre dans la main — examen des quatre opérations sur ℤ à la lumière de la reconnaissance, du traitement, de la conversion et de la coordination.
Un nombre qui n'a plus de collection derrière lui
Dans les entiers naturels, le registre des objets va de soi : 47, ce sont quarante-sept cailloux, et l'on peut les montrer. Cette évidence disparaît avec les relatifs. Personne n'a jamais vu « moins trois cailloux ».
C'est là, et non dans le calcul, que se joue la difficulté des entiers relatifs. Le nombre cesse d'être la mesure d'une collection pour devenir une position sur un axe ou une transformation — un gain, une perte, un déplacement. Des élèves qui réussissaient en ℕ échouent en ℤ : non parce qu'ils calculent mal, mais parce que le référent qui donnait du sens à leurs gestes s'est évanoui. Ils appliquent alors des règles qu'ils ne peuvent plus contrôler, et rien dans leur écriture ne les avertit quand elles sont mal appliquées.
S'ajoute une ambiguïté que l'écriture elle-même entretient : le signe « − » désigne tantôt une opération (5 − 8), tantôt la nature d'un nombre (−8), tantôt l'opposé d'une quantité (−a). Trois rôles, un seul signe. Duval nomme « unités signifiantes » ces éléments qu'un registre rend reconnaissables ; ici, trois unités différentes portent le même tracé.
L'outil répond par une convention minimale, et une seule : deux couleurs, et une égalité.
Un jeton jaune vaut +1, un rouge vaut −1, et les deux ensemble valent zéro. Cette égalité n'est pas un résultat à retenir : c'est l'unité signifiante nouvelle que le registre apporte. Avec elle, le négatif redevient un objet qu'on pose, qu'on compte et qu'on déplace ; et surtout, ajouter zéro devient un geste — celui qui débloque la soustraction, comme on le verra.
Les quatre concepts, et ce qu'ils permettent de voir
Reconnaissance
Identifier, dans une écriture, les éléments qui portent du sens. Ici : distinguer le « − » de l'opération du « − » du nombre, et reconnaître qu'une paire jaune-rouge ne change rien.
Traitement
Transformer une écriture à l'intérieur d'un même registre : calculer. Poser des jetons, retirer des paires, retourner un groupe sont des traitements du registre figural — les règles écrites en sont la trace.
Conversion
Passer d'un registre à un autre : des jetons à l'écriture, et retour. C'est l'opération la plus coûteuse pour les élèves, et celle qui n'est presque jamais enseignée pour elle-même.
Coordination
Faire que les registres se contrôlent l'un l'autre. Une erreur devient alors visible sans qu'un adulte ait à la signaler : les deux registres ne disent plus la même chose.
Les quatre sections qui suivent examinent une opération chacune, sur un exemple précis. Les images et les animations sortent de l'outil lui-même : elles ont été enregistrées en jouant l'opération à la souris, geste après geste. Ce qui est décrit ici est donc exactement ce qui se passe à l'écran — et vous pouvez le refaire vous-même dans chaque figure.
Additionner un négatif cesse d'être une soustraction déguisée
Six jaunes, quatre rouges. Chaque jaune rencontre un rouge : quatre paires nulles s'en vont, et il reste deux jaunes.
- On pose les 6 jaunes du premier nombre.
- Ajouter −4, c'est poser 4 rouges : l'ajout reste un ajout, on ne retire rien.
- On retire les paires nulles : chacune vaut 0, les enlever ne change pas le nombre.
- Il reste +2.
L'élève qui écrit « 6 + 4 = 10 » n'a pas fait une faute de calcul : il a reconnu une addition et additionné les deux valeurs absolues. Dans le cadre, ce geste n'a pas lieu — les rouges ne s'ajoutent pas aux jaunes, ils les annulent.
L'addition achevée : les quatre paires sont parties, il reste deux jaunes, et le pied du cadre écrit +2.
La couleur sépare ce que l'écriture confond. Dans « 6 + (−4) », le premier signe est une opération et le second appartient au nombre : deux rôles pour un même tracé. En jetons, l'opération est le geste de poser, et la nature du nombre est sa couleur — deux unités signifiantes distinctes, qu'on ne peut plus prendre l'une pour l'autre.
Le traitement figuratif est une seule action, répétée : appareiller. On ne convoque ni règle des signes, ni comparaison des valeurs absolues, ni « le signe du plus grand » — trois énoncés que les élèves confondent régulièrement. On enlève des paires jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus, et ce qui reste est la réponse.
La conversion se fait dans les deux sens et sans reste : à toute écriture de la forme a + b correspond un cadre, et tout cadre se lit comme une écriture. Surtout, le passage « 6 + (−4) = 6 − 4 » cesse d'être une règle de réécriture à mémoriser : les deux écritures désignent le même cadre, ce qui est précisément ce qu'une équivalence veut dire.
L'erreur « 6 + 4 = 10 » ne survit pas à la confrontation des deux registres : il faudrait que quatre rouges posés à côté de six jaunes en fassent dix, et le pied du cadre affiche +2 pendant qu'on y pense. Ce n'est pas une correction venue d'un adulte, c'est un désaccord entre deux écritures que l'élève lit lui-même.
« On ne peut pas » devient « ajoutons des zéros »
Cet exemple a été choisi : c'est celui qui, à l'école primaire, s'appelait « impossible ». L'élève doit retirer huit jaunes d'un cadre qui n'en contient que cinq.
- On pose les 5 jaunes. Le cadre vaut +5.
- Il manque trois jaunes à retirer. On ajoute trois paires nulles : chacune vaut 0, le nombre ne change pas — le cadre vaut toujours +5 — mais il contient maintenant huit jaunes.
- On barre les huit jaunes, un à un. Un jeton barré vaut 0 et reste sous les yeux : le retrait laisse sa trace.
- Il reste 3 rouges : −3.
Le pied du cadre écrit alors, de lui-même : « barrés : 8 — chacun vaut 0, soit +8 retiré ». Le résultat n'est pas tombé du ciel, il est ce qui reste.
La soustraction achevée : huit jaunes barrés, trois rouges debout, et −3 au compteur.
Ce qui devient reconnaissable, c'est le zéro lui-même — non comme « rien », mais comme une quantité qu'on peut ajouter sans rien changer. La paire nulle donne au zéro un corps : on le voit, on le pose, on le compte. C'est la première fois de sa scolarité que l'élève manipule zéro autrement que comme une absence.
Le traitement ne change pas de nature entre ℕ et ℤ : soustraire reste retirer. Ce qui change, c'est qu'on s'autorise d'abord à enrichir le cadre. L'élève n'apprend pas une règle nouvelle (« moins moins fait plus »), il apprend un geste préparatoire — et ce geste, il peut le justifier seul, puisque ce qu'il ajoute vaut zéro.
L'équivalence « 5 − 8 = 5 + (−8) », que les manuels posent comme une définition, se lit ici dans le cadre : retirer huit jaunes ou poser huit rouges laisse exactement la même chose. La conversion cesse d'être une réécriture à croire pour devenir une constatation à faire — et c'est la différence entre une convention subie et une équivalence comprise.
Le signe du résultat n'est plus à décider. Beaucoup d'élèves calculent 8 − 5 puis hésitent sur le signe à poser devant le 3 ; la coordination supprime la question, parce que ce qui reste dans le cadre est rouge. Le signe n'est pas le produit d'une règle appliquée après coup : c'est la couleur de ce qui est resté.
La règle des signes redevient un retournement
Le cadre se partage en trois colonnes — trois groupes — et chaque colonne reçoit deux rouges. Multiplier par 3, c'est répéter trois fois ; et ce qu'on répète, ici, est négatif.
Reste la question que tous les élèves posent : et moins par moins ? Le cadre y répond par un geste, le bouton Opposé : chaque jeton se retourne, et les six rouges deviennent six jaunes.
Multiplier par −3, c'est prendre trois fois — puis prendre l'opposé. Le « moins » du multiplicateur n'est pas une consigne de signe : c'est l'ordre de retourner ce qu'on vient de faire.
Ce cas a sa propre animation, le second cadre ci-dessous : elle part de l'écriture (−3) × (−2), pose les trois groupes de −2, puis les retourne. Le résultat positif n'y est pas une règle apprise : c'est l'état du cadre après le geste.
3 × (−2) : trois colonnes, chacune à −2, et le pied du cadre détaille « groupes : −2 · −2 · −2 » pour un total de −6.
Le produit retrouve ses deux rôles, que l'écriture aplatit : le premier facteur dit COMBIEN DE FOIS, le second dit QUOI. Les colonnes rendent cette dissymétrie visible — trois colonnes, deux rouges dans chacune — alors que « 3 × (−2) » et « (−2) × 3 » ont exactement la même allure écrite.
Le traitement figuratif est la répétition, puis éventuellement le retournement. Deux gestes, pour quatre cas de signes : l'élève n'a plus quatre règles à retenir et à ne pas confondre, il a une action et son inverse. Et le pied du cadre écrit la somme des groupes, ce qui relie la multiplication à l'addition répétée sans qu'on ait à le dire.
La conversion la plus délicate est celle du facteur négatif : aucun nombre de groupes ne peut être négatif — on ne pose pas « moins trois colonnes ». L'outil ne fait pas semblant : il convertit « ×(−3) » en « ×3, puis opposé », ce qui est exactement ce que le mathématicien entend par là. La conversion reste honnête, au prix d'un geste de plus.
C'est ici que la coordination rend le service le plus rare : elle donne une RAISON à la règle des signes, au lieu d'une mnémotechnique. L'élève voit que le résultat de (−3) × (−2) doit être l'opposé de −6 ; il ne « retient » plus que moins par moins fait plus, il sait pourquoi cela ne peut pas être autrement.
Ce que le modèle montre, et ce qu'il ne démontre pas
Le retournement montre pourquoi (−3) × (−2) vaut +6, il ne le démontre pas. En mathématiques, ce résultat n'est pas un fait observable : c'est la seule valeur qui préserve la distributivité de la multiplication sur l'addition. Le geste de l'opposé est fidèle à cette raison — il en est la mise en scène — mais un enseignant honnête dira à sa classe que la preuve, elle, viendra plus tard, et qu'elle a une autre forme.
Dire cela n'affaiblit pas le dispositif : cela évite de remplacer une règle apprise par cœur par une image apprise par cœur.
Le quotient redevient la part d'une personne
Deux personnes viennent au cadre, chacune avec son plateau. On distribue « une pour toi, une pour moi », un jeton à la fois, et l'on regarde où il va.
- On pose les 6 jaunes.
- On appelle deux personnes : ce sont les deux parts.
- On distribue à tour de rôle ; chacune reçoit +3.
- Le pied du cadre écrit « parts : +3 · +3 — partage juste ».
Le même geste avec six rouges donne −3 par personne : (−6) ÷ 2 = −3 s'obtient sans règle nouvelle, en partageant des dettes au lieu de gains.
Et la tirelire, troisième récipient de la barre, avale les jetons de son plateau et rend leur opposé : c'est de quoi mettre en scène la division par un négatif, dont on parle ci-dessous.
Le partage achevé : deux plateaux à +3, et le cadre déclare le partage juste.
Le quotient redevient reconnaissable comme LA PART D'UNE PERSONNE, et non comme le nombre qu'on obtient en bas d'une potence. Le diviseur, lui, est reconnaissable comme un nombre de parts : deux unités signifiantes qui, dans l'écriture « 6 ÷ 2 », se ressemblent au point qu'on les échange sans s'en apercevoir.
Le traitement est la distribution alternée, et elle se fait sous les yeux : un jeton part, on voit chez qui il arrive. Le cadre vérifie ensuite l'égalité des parts et le dit — « partage juste » ou « parts inégales ». Le contrôle n'est pas délégué à l'adulte, il appartient au dispositif.
La conversion du partage vers l'écriture est immédiate tant que le diviseur est positif : autant de plateaux que de parts, et la part s'écrit. Dans l'autre sens, l'écriture « 6 ÷ 2 » se convertit en une mise en scène complète — six jetons, deux personnes — là où la potence n'en donnait que la trace.
La coordination porte ici sur le signe du quotient : partager six rouges entre deux personnes donne visiblement −3 à chacune, ce qui règle « négatif divisé par positif » sans énoncer de règle. Et si les parts sont inégales, les deux registres se contredisent à l'écran — on a distribué, mais on n'a pas divisé.
Les trois autres cas, joués jusqu'au bout
Le partage entre personnes ne dit que la moitié de l'histoire : il traite les diviseurs positifs. Pour diviser par un négatif, l'outil dispose d'un troisième récipient — la tirelire, qui avale ce qu'on lui donne et rend l'opposé. Un jeton posé sur son plateau y compte donc pour son contraire, et le cadre l'écrit : « 6 avalés — la tirelire rend… ».
Les quatre cas se jouent alors avec les mêmes gestes que celui qu'on vient de voir : six jetons, deux récipients, « une pour toi, une pour moi ». Seules changent la couleur des jetons — le signe du dividende — et la nature des récipients — le signe du diviseur. Quatre règles à mémoriser deviennent deux questions à se poser : qu'est-ce que je partage, et entre quoi ?
La symétrie avec la multiplication est complète, et c'est elle qui fait tenir l'ensemble : dans les deux opérations, le négatif du second nombre se traite en prenant l'opposé du résultat obtenu avec son contraire positif. L'élève n'apprend pas huit règles — quatre pour le produit, quatre pour le quotient — il apprend un geste, le retournement, et l'endroit où il s'applique.
Ce que la tirelire règle, et ce qu'elle ne règle pas
La tirelire donne une mise en scène cohérente de la division par un négatif ; elle n'en donne pas une démonstration. Sa règle — « elle rend l'opposé » — est la traduction gestuelle d'un choix mathématique : celui qui préserve la relation entre produit et quotient. C'est la même honnêteté que pour la règle des signes : le geste montre ce qui doit être, la preuve vient plus tard et a une autre forme.
Reste une chose que le dispositif ne met pas en scène : le sens quotitif de la division — « combien de fois −2 tient-il dans 6 ? ». L'outil raisonne en parts, non en paquets. Pour ce second sens, ce sont les groupes de la multiplication qu'il faut convoquer, en lisant le cadre à l'envers.
Ce que le dispositif déplace
Quatre opérations, un seul principe : rendre au négatif un référent manipulable, et laisser les règles apparaître comme la trace écrite de gestes qu'on a faits.
Les règles des entiers relatifs sont peu nombreuses et très proches les unes des autres : c'est ce qui les rend si faciles à confondre. « Le signe du plus grand », « moins par moins fait plus », « soustraire, c'est ajouter l'opposé » — trois énoncés justes, qu'un élève applique à la mauvaise situation dès qu'il ne dispose que de l'écriture pour se contrôler. Le registre figural ne remplace pas ces règles : il donne de quoi savoir laquelle s'applique.
Trois acquis méritent d'être notés, parce qu'ils ne s'obtiennent pas des autres dispositifs habituels :
- Le zéro devient une quantité qu'on ajoute. Ni la droite numérique ni le thermomètre ne permettent de poser un zéro et de le manipuler ; c'est pourtant le geste qui débloque la soustraction.
- Le retrait laisse sa trace. Les jetons barrés restent visibles : un traitement qu'on peut relire est un traitement qu'on peut discuter — et corriger sans tout refaire.
- Le signe cesse d'être une décision. Il est la couleur de ce qui reste. C'est sans doute le déplacement le plus profond : l'élève n'a plus à choisir un signe, il a à regarder.
Reste ce que le dispositif ne fait pas, et qu'il faut dire pour qu'il serve bien : il ne traite pas les grands nombres — poser 47 jetons n'apprend rien de plus que d'en poser 6 —, il ne remplace pas la droite numérique pour l'ordre et la comparaison, et il ne démontre pas la règle des signes. Sa place est au moment de l'introduction, entre l'intuition et la technique : assez tôt pour que les règles aient un sens, assez court pour qu'on puisse ensuite s'en passer. Un bon matériel didactique est celui dont on sait sortir.
Faire l'expérience
L'outil est en libre accès, sans compte : ouvrir l'outil Entier relatif. Les nombres n'y sont pas fixés — vous pouvez écrire votre propre opération et la jouer.
Sur les entiers naturels, la même analyse existe : les quatre opérations dans les registres de Duval, et l'outil Entier naturel.
Sur les fractions aussi : les quatre opérations sur les fractions dans les registres, et l'outil Fractions.
Et la théorie qui sous-tend ces deux analyses : les registres de représentation sémiotique, cours de deux heures.